Mathématiques financières

Calcul de l’intérêt
Soit I l’intérêt ; C le capital prêté ou placé ; t le taux d’intérêt ; n_a la durée en années ; n_m la durée en mois ; n_j la durée en jours
$I = C \times \frac{t}{100} \times n_{a}$ ou $I = C \times \frac{t}{100} \times \frac{n_{m}}{12}$ ou $I = C \times \frac{t}{100} \times \frac{n_{j}}{360}$
Calcul de la valeur acquise
Soit I l’intérêt ; C le capital prêté ou placé ; VA la valeur acquise
$VA = C + I$
Calcul du capital
Soit I l’intérêt ; t le taux d’intérêt ; n la durée
$C = \frac{I \times 100}{t \times n}$
Calcul du capital
Soit VA la valeur acquise ; t le taux d’intérêt ; n la durée
$C = \frac{VA}{1 + t \times n}$
Calcul du taux
Soit I l’intérêt ; C le capital prêté ou placé ; n la durée
$t = \frac{I}{C \times n}$ Remarque : I = VA - C
Calcul de la durée
Soit VA la valeur acquise ; C le capital prêté ou placé ; I l’intérêt ; t le taux d’intérêt
$n = \frac{I}{C \times t}$ ou $n = \frac{VA-C}{C \times t}$ ou $n = \frac{I}{(VA-I) \times t}$

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Intérêts composés

Calcul de la valeur acquise
Soit C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial ; n la durée ; i le taux d’intérêt
$C_{n} = C_{0} {(1 + i)}^{n}$
Calcul de la valeur actuelle
Soit C_n la valeur nominale ; C₀ le capital initial ; n la durée ; i le taux d’intérêt
$C_{0} = C_{n} {(1 + i)}^{-n}$
Calcul des intérêts
Soit I l’intérêt ; C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial
$I = C_{n} {-C}_{0}$
Calcul de la durée
Soit n la durée ; C_n la valeur acquise en n ; i le taux d’intérêt ; C₀ le capital initial
$n = \frac{{ln(C}_{n} {)-ln(C}_{0})}{ln(1 + i)}$
Calcul du taux d’intérêt
Soit n la durée ; C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial
$i = \sqrt[n]{\frac{C_{n}}{C_{0}}} - 1$

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Taux proportionnel et taux équivalent

Calcul d’un taux proportionnel
Soit i_a le taux annuel ; i_m le taux mensuel ; i_t le taux trimestriel ; i_s le taux semestriel
$i_{m} = \frac{i_{a}}{12}$ ; $i_{t} = \frac{i_{a}}{4}$ ; $i_{s} = \frac{i_{a}}{2}$ ; $i_{a} = 12 \times i_{m} = 4 \times i_{t} = 2 \times i_{s}$
Calcul d’un taux équivalent
Soit i le taux annuel ; k le nombre de périodes dans l’année ; i_k le taux équivalent pour la période de capitalisation ; C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial
$i_{k} = {(1 + i)}^{\frac{1}{k}} - 1 = \frac{{ln(C}_{n} {)-ln(C}_{0})}{k}$ ; ${(1 + i_{k})}^{k} = (1 + i)$

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L’escompte

Calcul de la valeur actuelle
Soit V₀ la valeur actuelle à la période 0 ; V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte
$V_{0} = V_{n} -e$
Calcul de l’escompte
Soit V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte ; t le taux d’escompte ; n_j la durée en jours
$e = \frac{V_{n} \times t \times n_{j}}{36000}$
Calcul du taux d’escompte
Soit V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte ; t le taux d’escompte ; n_j la durée en jours
$t = \frac{e}{V_{n} \times \frac{n_{j}}{360}}$
Calcul de la durée d’escompte
Soit V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte ; t le taux d’escompte ; n_j la durée en jours
$n = \frac{e \times 360}{V_{n} \times t}$

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Les annuités constantes

Calcul de l’annuité constante à partir de la valeur actuelle
Soit V₀ la valeur actuelle à la période 0 ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante
$a = V_{0} \frac{i}{1-(1 + {i)}^{-n}}$
Calcul de l’annuité constante à partir de la valeur acquise
Soit V_n la valeur acquise à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante
$a = V_{n} \frac{i}{{(1 + i)}^{n} - 1}$
Calcul de la valeur acquise d’une suite d’annuités constantes
Soit V_n la valeur acquise à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante
$V_{n} = a \frac{{(1 + i)}^{n} - 1}{i}$
Calcul de la durée d’une suite d’annuités constantes
Soit V_n la valeur acquise à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante
$n = \frac{ln(\frac{V_{n} \times i}{a} + 1)}{ln(1 + i)}$
Calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes
Soit V₀ la valeur actuelle à la période 0 ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante
$V_{n} = a \frac{1-(1 + {i)}^{-n}}{i}$ Remarque : (1+i)^-n= $\frac{1}{{(1 + i)}^{n}}$
Calcul du capital restant dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes
Soit C_k le capital restant dû à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée totale ; a l’annuité constante ; k le nombre d’annuités remboursées
$C_{k} = a \frac{1-(1 + {i)}^{-(n-k)}}{i}$
Calcul du 1er amortissement dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes
Soit A₁ le 1er amortissement ; i le taux d’intérêt ; n la durée totale ; V₀ la valeur actuelle à la période 0
$A_{1} = V_{0} \frac{i}{{(1 + i)}^{n} -1}$
Calcul d’un amortissement quelconque en fonction du 1er amortissement dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes
Soit A₁ le 1er amortissement ; i le taux d’intérêt ; K le rang de l’amortissement recherché ; A_k la valeur de l’amortissement à la période k
$A_{k} = A_{1} {(1 + i)}^{k-1}$
Calcul d’un amortissement quelconque en fonction d’un amortissement autre que le 1er dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes
Soit A_p l’amortissement de la période P ; i le taux d’intérêt ; K le rang de l’amortissement recherché ; A_k la valeur de l’amortissement à la période k
$A_{k} = A_{p} {(1 + i)}^{(k-p)}$
Calcul du capital remboursé à la fin d’une période quelconque dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes
Soit A₁ le 1er amortissement ; i le taux d’intérêt ; K la période ; C_k la capital remboursé à la période k
$C_{k} = \frac{A_{1} {(1 + i)}^{k} - 1}{i}$

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Les amortissements constants

Calcul de l’amortissement constant
Soit V₀ le capital emprunté ; n la durée ; A l’amortissement constant
$A = \frac{V_{0}}{n}$
Calcul d’une annuité en fonction de l’annuité précédente
Soit V₀ le capital emprunté ; n la durée ; i le taux d’intérêt ; a_k l’annuité de la période K ; a_p l’annuité de la période P ; K le rang de la période K ; P le rang de la période P
$a_{k} = a_{p} -(K-P) \frac{V_{0}}{n} \times i$

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