Statistique

Les indices élémentaires
1.1/ Présentation
Définition:
un indice élémentaire est un rapport entre deux valeurs d’une série à deux dates ou deux espaces différents.
Il est représenté par : $I_{c / r} = 100. \frac{V_{c}}{V_{r}}$
avec V_c valeur observée à une date donnée ou dans un espace donné ;
V_r valeur de référence (à la date r ou dans un espace r).
En général,l’indice élémentaire relatif au temps s’écrie : $I_{t / t'} = 100. \frac{V_{t}}{V_{t'}}$
L’indice est exprimé en pourcentage (d’où la multiplication par 100)

1.2/ Propriétés des indices élémentaires :

1.2.1/La circularité

Un indice à la date $t_{}$ exprimé par rapport à une année de référence t^’, peut être décomposé en plusieurs indices élémentaires à des dates successives (ou à des dates intermédiaires) de la façon suivante :

$I_{t / t'} = 100. [\frac{I_{t / t - 1}}{100} . \frac{I_{t - 1 / t - 2}}{100} .... \frac{I_{t' + 1 / t'}}{100}]$

Démonstration :

$I_{t / t'} = 100. \frac{V_{t}}{V_{t'}} = 100 [\frac{V_{t}}{V_{t - 1}} . \frac{V_{t - 1}}{V_{t - 2}} ... \frac{V_{t' + 1}}{V_{t'}}] = 100. [\frac{I_{t / t - 1}}{100} . \frac{I_{t - 1 / t - 2}}{100} .... \frac{I_{t' + 1 / t'}}{100}]$
Donc, dès lors que nous observons des indices intermédiaires sur la période considérée nous pouvons en déduire un indice global. On dit alors que les indices élémentaires sont enchaînables.

Cas particuliers :

-Utile pour changement de base :

Soit deux indices $I_{t / 0}$ et $I_{t' / 0}$ , exprimés en base 0 (année 0). On veut exprimer l’indice à la date t par rapport à la date t’. Donc, on veut effectuer un changement de base. Comment procède-t-on ?
A l’aide de la formule générale: $I_{t / 0} = 100. [\frac{I_{t / t'}}{100} . \frac{I_{t' / 0}}{100}]$
D’où : $I_{t / t'} = 100. [\frac{I_{t / 0}}{I_{t' / 0}}]$

1.2.2- La réversibilité

Quand on inverse le rôle de la base de référence et celle de la valeur courante, l’indice élémentaire s’inverse à 10⁴ près :
$I_{r / c} = 10^{4} . \frac{1}{I_{c / r}}$
Démonstration :
$I_{r / c} . I_{c / r} = 100. \frac{V_{r}}{V_{c}} .100 \frac{V_{c}}{V_{r}} = 10^{4}$
Les indices synthétiques
2.1/ Définition : :
Un indice synthétique est une grandeur composite qui résume un ensemble d’indices simples basés sur des grandeurs hétérogènes (i.e. ne pouvant pas être additionnées).

Exemple : L’indice des prix à la production agrégé.
La production d’une économie est composée de plusieurs biens.
Ainsi, un indice des prix à la production de toute une économie (indice agrégé) sera une grandeur composite représentant les prix moyens de ces biens ou plutôt leur évolution moyenne.

Comment alors calculer un prix ‘synthétique’ moyen ?
Comment de la même manière, calculer une quantité ‘synthétique moyenne’, sans ajouter des kilos d’ un bien (ex. café) avec des tonnes d’un autre bien (ex. acier) ?

2.2/ L’indice de Laspeyres

• Laspeyres des prix: $L_{t / 0}^{p} = 100. \frac{\sum (p_{i, t} . q_{i,0})}{\sum_{} (p_{i,0} . q_{i,0})}$
On remarquera que :
1/ seuls les prix varient dans cette relation
2/ L’indice de Laspeyres se réduit à un indice élémentaire quand il existe seulement un seul bien puisque : $L_{t / 0}^{p} = 100. \frac{p_{t} . q_{0}}{p_{0} . q_{0}} = 100. \frac{p_{t}}{p_{0}}$

• Laspeyres des quantités: $L_{t / 0}^{q} = 100. \frac{\sum (p_{i,0} . q_{i, t})}{\sum_{i} (p_{i,0} . q_{i,0})}$

2.3/ L’indice de Paasche

•Indice de Paasche des prix : $P_{t / 0}^{p} = 100. \frac{\sum (p_{i, t} . q_{i, t})}{\sum_{i} (p_{i,0} . q_{i, t})}$
Cet indice est connu comme étant l’indice de Paasche. Sa seule différence par rapport à celui de Laspeyres est que le ‘poids’ q_i de chaque prix doit être observé à la date ‘t’.

•Indice de Paasche des quantités : $P_{t / 0}^{q} = 100. \frac{\sum (p_{i, t} . q_{i, t})}{\sum_{i} (p_{i, t} . q_{i,0})}$
Ici, les quantités élémentaires varient seulement entre 0 et t. Les rôles s’inversent et les prix deviennent alors les poids exprimés à la date t uniquement.