مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

مبادئ في المنطق
Quelques Eléments de Logique Mathématique

|تقديم | تمرين 1| تمرين 2| تمرين 3| تمرين 4| تمرين 5| تمرين 6|

تقديم


إن الهدف من إدراج درس المنطق هو تزويد التلاميذ بالمبادئ الأولية والأساسية في المنطق الرياضي لتنظيم أفكارهم و ذلك من خلال أنشطة و أمثلة متنوعة و وضعيات رياضية بسيطة سبق للتلاميذ أن تعاملوا معها مع الحرص على تجنب العروض النظرية و الإفراط في استعمال جداول الحقيقة، كما أن المفاهيم الواردة فيه سوف يتم استثمارها طيلة السنة الدراسية في مختلف فصول البرنامج اللاحقة.

البداية

تصحيح تمارين من مرشدي في الرياضيات

تمرين 1


  1. هل العبارة " 1 3 ∈ℕ" صحيحة أم خاطئة ؟ الجواب
  2. هل النص "( x∈ℝ ) x 2 +1 ∈ℝ" عبارة أم دالة عبارية ؟ الجواب
  3. نفي العبارة "f دالة زوجية " هي العبارة :
    "f قردية " أم "f دالة غير زوجية"؟ الجواب
  4. نفي العبارة "n زوجي " هي العبارة :
    "n عدد أولي" أم "n عدد فردي"؟ الجواب
  5. إذا كانت إحدى العبارتين P و Q خاطئة فإن العبارة P∧Q تكون :
    صحيحة أم خاطئة ؟ الجواب
  6. إذا كانت العبارتان P و Q خاطئتين فإن العبارة P∨Q تكون :
    صحيحة أم خاطئة ؟ الجواب
  7. العبارة P⇒Q ترميز للعبارة :
    a- ¬P∧Q
    أم
    b- ¬P∨Q الجواب
  8. إذا كانت العبارة P صحيحة و العبارة P⇒Q صحيحة ، فإن Q تكون :
    صحيحة أم خاطئة؟ الجواب
  9. العبارة "∃x:P(x)" تعني :
    a- يوجد على الأقل x يحقق P(x)
    b- P(x) تتحقق مهما يكن x الجواب
  10. للبرهنة على صحة عبارة P نفترض ¬P .هذا الاستدلال يسمى :
    الاستدلال بالخلف أم الاستدلال بالتكافؤ الجواب

البداية

تمرين 2


A و B عبارتان .
بين أن العبارة : ( A∧¬A )⇒B عبارة صحيحة .

البداية

الجواب

تمرين 3


لتكن A و B عبارتين متكافئتين و C عبارة ما .
بين أن العبارات التالية صحيحة :
  1. ¬A⇔¬B
  2. ( A⇒C )⇔( B⇒C )
  3. ( A∧C )⇔( B∧C )
  4. ( A∨C )⇔( B∨C )

البداية

الجواب

تمرين 4


لتكن P و Q و R ثلاث عبارات . أثبت صحة ما يلي:
  1. P∨Q⇔Q∨P
  2. [ ( P∨Q )∨R ]⇔[ P∨( Q∨R ) ]
  3. P∨P⇔P
  4. P⇒P∨Q
  5. P∨( ¬P )

البداية

الجواب

تمرين 5


لتكن P و Q و R ثلاث عبارات . أثبت صحة ما يلي:
  1. [ P∧( Q∨R ) ]⇔[ ( P∧Q )∨( P∧R ) ]
  2. [ P∨( Q∧R ) ]⇔[ ( P∨Q )∧( P∨R ) ]
  3. ¬( P∧Q )⇔[ ( ¬P )∨( ¬Q ) ]
  4. ¬( P∨Q )⇔[ ( ¬P )∧( ¬Q ) ]

البداية

الجواب

تمرين 6


حل في ℝ المعادلات التالية:
  1. | x−3 |=2
  2. ( x−1 )( x 2 −5x+6 )=0
  3. | 3x−1 |−| x+1 |=0

البداية

الجواب

عناصر الإجابة
تمرين 2
تذكير
إذا كانت العبارة P خاطئة فإن الاستلزام P⇒Q يكون دائما صحيحا مهما كانت قيمة حقيقة العبارة Q

نعلم أن العبارتين A و ¬A لهما قيمتي حقيقة مختلفة أي العطف A∧¬A عبارة خاطئة وعليه فإن الاستلزام ( A∧¬A )⇒B عبارة صحيحة.

البداية

التمرين

تمرين 3

  1. إذا كان للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن العبارة A⇔B تكون دائما صحيحة.

    بما أن العبارة A⇔B صحيحة فإن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة و بالمثل ¬A و ¬B لهما نفس قيمتي الحقيقة ، إذن العبارة ¬A⇔¬B صحيحة.
  2. بما أن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن للاستلزامين A⇒C و B⇒C نفس قيمتي الحقيقة و بالتالي العبارة ( A⇒C )⇔( B⇒C ) صحيحة.
  3. بما أن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن للعطفين A∧C و B∧C نقس قيمتي الحقيقة و بالتالي العبارة ( A∧C )⇔( B∧C ) صحيحة
  4. بما أن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن للفصلين A∨C و B∨C نفس قيمتي الحقيقة و بالتالي العبارة ( A∨C )⇔( B∨C ) صحيحة .

البداية

التمرين

تمرين 4
  1. العبارتين P∨Q و Q∨P لهما نفس قيمتي الحقيقة إذن .....
  2. العبارتين ( P∨Q )∨R و P∨( Q∨R ) لهما نفس قيمتي الحقيقة إذن ....
  3. العبارتين P∨P و P لهما نفس قيمتي الحقيقة إذن ....
  4. للبرهان عن صحة الاستلزام A⇒B نفترض أن العبارة A صحيحة و نثبت أن العبارة B صحيحة.
    نعلم أنه إذا كانت العبارة P صحيحة فإن الفصل P∨Q صحيح و بالتالي الاستلزام P⇒P∨Q عبارة صحيحة.
  5. بما أن للعبارتين P و ¬P قيمتي حقيقة مختلفة فإن العبارة P∨¬P صحيحة .

البداية

التمرين

تمرين 5
  1. نستعن بجدول الحقيقة:

البداية

التمرين

تمرين 6
  1. نستعمل الاستدلال بفصل الحالات :
    • حالة x≥3
      | x−3 |=2 تكافئ x−3=2 تكافئ x=5 بالفعل عدد مناسب أكبر من أو يساوي 3
    • حالة x≺3
      | x−3 |=2 تكافئ −x+3=2 تكافئ x=1 عدد مناسب.
    من الحالتين السابقتين نستنتج أن S={ 1;5 }

البداية

التمرين