دراسة الدوال

المادة	الرياضيات
المستوى	الثانية علوم تجريبية

f دالة معرفة كما يلي:

f (x) = | x - 2 | + \frac{1}{x + 1}

. (o, \vec{i}, \vec{j})

1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f . جواب

$\Leftrightarrow x + 1 \neq 0$	$x \in D$
$\Leftrightarrow x \neq - 1$

D = ℝ - {- 1} =] - \infty, - 1 [\cup] - 1, + \infty [

2) أحسب نهايات f عند محدات D . جواب

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
$\lim_{x \to - \infty} | x - 2 | = \lim_{x \to - \infty} - x + 2 = \lim_{x \to - \infty} - x = + \infty$
اذن: $\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$

$\lim_{x \to + \infty} | x - 2 | = \lim_{x \to + \infty} x - 2 = \lim_{x \to + \infty} x = + \infty$
اذن: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

\lim_{\underset{x < - 1}{x \to - 1}} | x - 2 | = | - 3 | = 3

\lim_{\underset{x < - 1}{x \to - 1}} x + 1 = 0^{-}

\lim_{\underset{x < - 1}{x \to - 1}} f (x) = - \infty

\lim_{\underset{x > - 1}{x \to - 1}} x + 1 = 0^{+}

\lim_{\underset{x > - 1}{x \to - 1}} f (x) = + \infty

أ) أدرس اشتقاق f في 2 على اليمين . جواب

$= \lim_{\underset{x > 2}{x \to 2}} \frac{x - 2 + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{3}}{x - 2}$	$\lim_{\underset{x > 2}{x \to 2}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2}$
$= \lim_{\underset{x > 2}{x \to 2}} \frac{x + \frac{1}{x + 1} - \frac{7}{3}}{x - 2}$
$= \lim_{\underset{x > 2}{x \to 2}} \frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{3 (x + 1) (x - 2)}$
$= \lim_{\underset{x > 2}{x \to 2}} \frac{(x - 2) (3 x + 2)}{3 (x - 2) (x + 1)}$
$= \lim_{\underset{x > 2}{x \to 2}} \frac{(3 x + 2)}{3 (x + 1)}$
$= \frac{8}{9}$

f_{d}' (2) = \frac{8}{9}

ب) أدرس اشتقاق f في 2 على اليسار . جواب

$= \lim_{\underset{x < 2}{x \to 2}} \frac{2 - x + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{3}}{x - 2}$	$\lim_{\underset{x < 2}{x \to 2}} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2}$
$= \lim_{\underset{x < 2}{x \to 2}} \frac{\frac{5}{3} - x + \frac{1}{x + 1}}{x - 2}$
$= \lim_{\underset{x < 2}{x \to 2}} \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 8}{3 (x + 1) (x - 2)}$
$= \lim_{\underset{x < 2}{x \to 2}} \frac{- 3 (x - 2) (x + \frac{4}{3})}{3 (x + 1) (x - 2)}$
$= \lim_{\underset{x < 2}{x \to 2}} \frac{- (x + \frac{4}{3})}{x + 1}$
$= - \frac{10}{9}$

f'_{g} (2) = - \frac{10}{9}

ج) هل f قابلة للإشتقاق في 2 .(علل الجواب) . جواب بما أن:

f'_{d} (2) \neq f'_{g} (2)

فان f غير قابلة للإشتقاق فى 2 .
د)أول مبيانيا نتيجتي السؤالين (أ)و(ب) . جواب

أ) أدرس تغيرات f على:

] - \infty, - 1 [\cup] - 1,2]

\forall x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1,2 [: f (x) = - x + 2 + \frac{1}{x + 1}

\forall x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1,2 [: f' (x) = - 1 - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ≺ 0

ب) أدرس تغيرات f على

[2, + \infty [

\forall x \in] 2, + \infty [: f (x) = x - 2 + \frac{1}{x + 1}

\forall x \in] 2, + \infty [: f' (x) = 1 - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} > 0

5) أدرس الفروع اللانهائية للمنحنى (C) . جواب

$\lim_{x \to - 1} f (x) = \infty$ المستقيم الذي معادلته x=-1 مقارب ل(C).
بماأن: $\lim_{x \to - \infty} f (x) - (- x + 2) = 0$ فان المشتقيم الذي معادلته y=-x+2 مقاربل ل(C) بجوار $- \infty$
بما أن $\lim_{x \to + \infty} f (x) - (x - 2) = 0$ فان المستقيم الذي معادلته y=x-2 مقارب ل (C) بجوار $+ \infty$ .

6) أنشئ المنحنى (C) . جواب

أ)بين أن f تقابل من

I = [2; + \infty [

نحو مجال J يجب تحديده . جواب

f متصلة على $I = [2; + \infty [$ لأنها مجموع دالة حدودية و دالة جدرية متصلتين على I
f تزايدية قطعا على I .

J = f (I) = f ([2; + \infty [) = [\frac{1}{3}; + \infty [

ب) أحسب

f^{- 1} (x)

لكل x من J . جواب

\forall x \in J : f^{- 1} (x) = \frac{x + 1 + \sqrt{(x + 1) (x + 5)}}{2}

ذ عبدالرحيم الأصب