نهايات

المادة	الرياضيات
المستوى	الثانية علوم تجريبية

تمرين

أحسب النهايات التالية:

1) $\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$ الجواب

2) $\lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x} + x$ الجواب

3) $\lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x^{2} - 2 x} - \sqrt[3]{2 x - 1}$ الجواب

4) $\lim_{x \to 0} A r c \tan (\frac{\sqrt{4 x + 4} - 2}{x})$ الجواب

5) $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[6]{x^{2} - 2 x}}{\sqrt[3]{8 x + 1}}$ الجواب

6) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$ الجواب

7) $\lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x} - 2}$ الجواب

8) $\lim_{x \to - 6} \frac{\sqrt[3]{2 - x} - x}{x^{2} + 7 x + 6}$ الجواب

9) $\lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x + 4} - \sqrt[3]{x}$ الجواب

10) $\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{3} + x + 1} - \sqrt[3]{2 x^{3} + 2}$ الجواب

الجواب

(1)

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$	$\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x})} + x}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x \sqrt{(1 + \frac{1}{x})} + x}; (x > 0)$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{1}{x})} + 1}$
$= \frac{1}{\sqrt{(1 + 0)} + 1}$
$= \frac{1}{2}$

الرجوع الى السؤال1

(2)

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} - x}$	$\lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x} + x$
$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x})} - x}$
$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x})} - x}$
$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x})} - x}$
$= \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- x \sqrt{(1 + \frac{1}{x})} - x}, (x < 0)$
$= \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{(1 + \frac{1}{x})} - 1}$
$= \frac{1}{- \sqrt{(1 + 0)} - 1}$
$= \frac{1}{- 1 - 1}$
$= - \frac{1}{2}$

الرجوع الى السؤال2

(3)

$= \lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x^{2} (1 - \frac{2}{x})} - \sqrt[3]{x (2 - \frac{1}{x})}$	$\lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x^{2} - 2 x} - \sqrt[3]{2 x - 1}$
$= \lim_{x \to + \infty} x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{(1 - \frac{2}{x})} - x^{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{(2 - \frac{1}{x})}$
$\underset{x \to + \infty}{= \lim} x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{(1 - \frac{2}{x})} - \sqrt[3]{(2 - \frac{1}{x})})$
$= + \infty$

الرجوع الى السؤال3

(4)

$= \lim_{x \to 0} (\frac{4 x + 4 - 4}{x (\sqrt{4 x + 4} + 2)})$	$\lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{4 x + 4} - 2}{x})$
$= \lim_{x \to 0} (\frac{4}{(\sqrt{4 x + 4} + 2)})$
$= (1)$
والدالة Arctan متصلة في 1 اذن:
$= A r c \tan (1)$	$\lim_{x \to 0} A r c \tan (\frac{\sqrt{4 x + 4} - 2}{x})$
$= \frac{π}{4}$

الرجوع الى السؤال4

(5)

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[6]{x^{2} (1 - \frac{2}{x}})}{\sqrt[3]{x (8 + \frac{1}{x}})}$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[6]{x^{2} - 2 x}}{\sqrt[3]{8 x + 1}}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{(1 - \frac{2}{x})}}{x^{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{(8 + \frac{1}{x})}}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[6]{(1 - \frac{2}{x})}}{\sqrt[3]{(8 + \frac{1}{x})}}$
$= \frac{1}{2}$

الرجوع الى السؤال5

(6)

$= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1) ({(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} + 1^{2})}{(x - 1) ({(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} + 1^{2})}$	$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{(x - 1) ({(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} + 1^{2})}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{({(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} + 1^{2})}$
$= \frac{1}{3}$

الرجوع الى السؤال6

(7)

$= \lim_{x \to 8} \frac{{(\sqrt[3]{x})}^{3} - 2^{3}}{\sqrt[3]{x} - 2}$	$\lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x} - 2}$
$= \lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2) ({(\sqrt[3]{x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)}{\sqrt[3]{x} - 2}$
$= \lim_{x \to 8} {(\sqrt[3]{x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4$
$= 12$

الرجوع الى السؤال 7

(8)

$= \lim_{x \to - 6} \frac{(\sqrt[3]{2 - x} - 2) ({(\sqrt[3]{2 - x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{2 - x} + 4)}{(x^{2} + 7 x + 6) ({(\sqrt[3]{2 - x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{2 - x} + 4)}$	$\lim_{x \to - 6} \frac{\sqrt[3]{2 - x} - 2}{x^{2} + 7 x + 6}$
$= \lim_{x \to - 6} \frac{{(\sqrt[3]{2 - x})}^{3} - 2^{3}}{(x + 6) (x + 1) ({(\sqrt[3]{2 - x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{2 - x} + 4)}$
$= \lim_{x \to - 6} \frac{(2 - x) - 8}{(x + 6) (x + 1) ({(\sqrt[3]{2 - x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{2 - x} + 4)}$
$= \lim_{x \to - 6} \frac{- (x + 6)}{(x + 6) (x + 1) ({(\sqrt[3]{2 - x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{2 - x} + 4)}$
$= \lim_{x \to - 6} \frac{- 1}{(x + 1) ({(\sqrt[3]{2 - x})}^{2} + 2 \sqrt[3]{2 - x} + 4)}$
$= \frac{1}{60}$

الرجوع الى السؤال8

(9)

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt[3]{x + 4} - \sqrt[3]{x}) ({(\sqrt[3]{x + 4})}^{2} + \sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2})}{({(\sqrt[3]{x + 4})}^{2} + \sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2})}$	$\lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x + 4} - \sqrt[3]{x}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{{(\sqrt[3]{x + 4})}^{3} - {(\sqrt[3]{x})}^{3}}{({(\sqrt[3]{x + 4})}^{2} + \sqrt[3]{x^{2} + 4 x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2})}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{(x + 4) - (x)}{({(\sqrt[3]{x + 4})}^{2} + \sqrt[3]{x^{2} + 4 x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2})}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{4}{({(\sqrt[3]{x + 4})}^{2} + \sqrt[3]{x^{2} + 4 x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2})}$
$= 0$

الرجوع الى السؤال9

(10)

$= \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - \sqrt[3]{2 + \frac{2}{x^{3}}})$	$\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{3} + x + 1} - \sqrt[3]{2 x^{3} + 2}$
$= + \infty$

الرجوع الى السؤال10

الرجوع الى البداية

ذ عبدالرحيم الأصب

abou_othmane@yahoo.fr