الدوال الأسية

تمرين 1
حل في

ℝ

المعادلات و المتراجحات التالية :

\begin{array}{l} e^{x^{2} - x} = 1; e^{x - 1} = e; e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0 \\ e^{2 x} - 6 e^{x} + 5 〉 0; e^{3 x + 1} - 2 e^{2 x + 1} + e^{x + 1} 〈 0 \end{array}

الجواب تمرين 2
احسب النهايات التالية :

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{x}}{x}; \lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1}; \lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{2} + 1} \\ \lim_{x \to + \infty} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x + 1}}); \lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x} - 1}{e^{2 x} - 3 e^{x} + 2} \\ \lim_{x \to + \infty} x (e^{\frac{1}{x}} - 1); \lim_{x \to + \infty} \sqrt{x} e^{- x} \end{array}

الجواب تمرين 3
نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

f : x \mapsto \sqrt{1 - e^{- 2 x}}

حدد مجموعة تعريف الدالةf.
اثبت ان : $\forall x \in D_{f} \ {0} : \frac{f (x)}{x} = \sqrt{\frac{2}{x} (\frac{e^{- 2 x} - 1}{- 2 x})}$
احسب $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}$ ثم اول النتيجة هندسيا.
ادرس تغيرات الدالةf.
ارسم منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم.

الجواب تمرين 4
نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

{\begin{cases} f (x) = - e^{x} + x + 1; x 〈 0 \\ f (x) = x^{2} \ln x; x 〉 0 \\ f (0) = 0 \end{cases}

احسب نهايات الدالةfعند محدات مجموعة تعريفها .
ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfفي 0.
ادرس تغيرات الدالةf.
ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
ارسم منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم.

الجواب تمرين 5
لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

{\begin{cases} f (x) = | 2 x (1 - \ln x) |; x 〉 0 \\ f (x) = e^{x} - 1 - 2 \sqrt{1 - e^{x}}; x \leq 0 \end{cases}

ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfفي0 ثم فيe.
اعط تأويل هندسي للنتائج المحصل عليها .
احسب نهايات الدالةfعند محدات مجموعة تعريفها.
ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
ادرس تغيرات الدالةfثم ارسم منحناها في معلم متعامد ممنظم.

الجواب تمرين 6
لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي:

f : x \mapsto \ln (e^{x} + \frac{1}{4} e^{- x})

احسب $\lim_{x \to - \infty} f (x); \lim_{x \to + \infty} f (x)$
بين أن : $(\forall x \in I R) : f' (x) = \frac{(2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + 1)}{4 e^{x} + 1}$
ضع جدول تغيرات الدالةf.
بين أن المنصف الاول مقارب مائل لمنحنى الدالةf.
بين أن : $(\forall x \in I R) : f (x) = (- x - 2 \ln 2) + \ln (4 e^{x} + 1)$
ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
حدد نقظ تقاطع منحنى الدالةfمع محور الاراتيب ثم انشئ هذا المنحنى في معلم متعامد ممنظم.

الجواب تمرين 7
لتكنg الدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

g : x \mapsto e^{x} + \ln (x) - e

احسب $\lim_{x \to + \infty} g (x); g (1)$
ادرس تغيرات الدالةgثم استنتج أن : $\forall x \in [1, + \infty [: g (x) \geq 0$
نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : { f ( x ) = e x + x ln ⁡ x − ( 1 + e ) x − 1; x 〉 0 f ( 0 ) = 0
- احسب $\lim_{x \to + \infty} f (x)$
- ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfفي 0.
- ضع جدول تغيرات الدالةf.
- ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
- ارسم المنحنى الممثل للدالةfفي معلم متعامد ممنظم.

الجواب

جواب التمرين 1

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0

لكل x من

ℝ

$\Leftrightarrow {(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$	$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$
$\Leftrightarrow (e^{x} - 1) (e^{x} - 2) = 0$
$e^{x} = 2$ أو $\Leftrightarrow e^{x} = 1$
$x = 0$ أو $\Leftrightarrow x = \ln 2$

إذن

S = {0, \ln 2}

e^{2 x} - 6 e^{x} + 5 ≻ 0

لكل x من

ℝ

\Leftrightarrow (e^{x} - 1) (e^{x} - 5) ≻ 0

e^{2 x} - 6 e^{x} + 5 ≻ 0

نعلم أن :

$e^{x} - 1 ≻ 0 \Leftrightarrow x ≻ 0$
$e^{x} - 5 ≻ 0 \Leftrightarrow x ≻ \ln 5$

نلخص هذه الدراسة في جدول فنحصل على :

إذن :

S =] - \infty; 0 [\cup] \ln 5; + \infty [

التمرين جواب التمرين 2

\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0; \lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0

\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty; \lim_{x \to +} \frac{e^{x}}{x} = + \infty

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{2} + 1}

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{{(e^{\frac{1}{2} x})}^{2}}{4 {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{4} {(\frac{e^{\frac{1}{2} x}}{\frac{1}{2} x})}^{2}$
$= + \infty$

(نضع

X = \frac{1}{2} x

;

X \mapsto + \infty; x \mapsto + \infty

) التمرين جواب التمرين 3

f : x \mapsto \sqrt{1 - e^{- 2 x}}

$D_{f} = {x \in ℝ / 1 - e^{- 2 x} \geq 0}$
لكل x من $ℝ$ لدينا

$\Leftrightarrow e^{- 2 x} \leq 1$ $1 - e^{- 2 x} \geq 0$

$\Leftrightarrow - 2 x \leq 0$

$\Leftrightarrow x \geq 0$

إذن : $D_{f} = ℝ^{+} = [0; + \infty [$

$= \frac{\sqrt{1 - e^{- 2 x}}}{x}$	$\forall x \in] 0; + \infty [: \frac{f (x)}{x}$
$= \sqrt{\frac{1 - e^{- 2 x}}{x^{2}}}$
$= \sqrt{\frac{2}{x} (\frac{e^{- 2 x} - 1}{- 2 x})}$

$= \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{\frac{2}{x} (\frac{e^{- 2 x} - 1}{- 2 x})}$	$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x}$
$= + \infty$

الدالة f غير قابلة للإشتقاق على يمين 0 ، و منحناهايقبل نصف مماس رأسي في النقطة ذات الإحداثيات

(0; 0)

موجه نحو الأراتيب الموجبة .

$\forall x \in] 0; + \infty [: f^{'} (x) = \frac{2 e^{- 2 x}}{2 \sqrt{1 - e^{- 2 x}}} = \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{1 - e^{- 2 x}}} ≻ 0$
ملحوظة: بما أن $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \sqrt{1 - e^{- 2 x}} = 1$ فإن $y = 1$ مقارب أفقي لمنحنى الدالة f بجوار $+ \infty$

التمرين جواب التمرين 4

{\begin{cases} f (x) = - e^{x} + x + 1; (x ≺ 0) \\ f (x) = x^{2} \ln x; (x ≻ 0) \\ f (0) = 0 \end{cases}

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} - e^{x} + x + 1 = - \infty$
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} x^{2} \ln x = + \infty$

الإتصال في الصفر

$= \lim_{x \to 0^{-}} - e^{x} + x + 1$	$\lim_{x \to 0^{-}} f (x)$
$= 0$
$= f (0)$

$= \lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \ln x$	$\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$
$= \lim_{x \to 0^{+}} x (x \ln x)$
$= 0$
$= f (0)$

بما أن

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)

فإن الدالة f متصلة في 0.
قابلية الإشتقاق في الصفر

$= \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- e^{x} + x + 1}{x}$	$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$
$= \lim_{x \to 0^{-}} - (\frac{e^{x} - 1}{x}) + 1$
$= 0$

$= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \ln x}{x}$	$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$
$= \lim_{x \to 0^{+}} x \ln x$
$= 0$

بما أن

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = 0

فإن f قابلة للاشتقاق في 0 و

f^{'} (0) = 0

{\begin{cases} f^{'} (x) = - e^{x} + 1; (x ≺ 0) \\ f^{'} (x) = 2 x \ln x + x; (x ≻ 0) \end{cases}

لكل x سالب قطعا لدينا $e^{x} ≺ 1$ أي $f^{'} (x) ≻ 0$

لكل x موجب قطعا لدينا

f^{'} (x) = x (1 + 2 \ln x)

أي إشارة

f^{'} (x)

على المجال

] 0; + \infty [

هي إشارة

1 + 2 \ln x

.
نعلم أن :

$\Leftrightarrow \ln x ≻ - \frac{1}{2}$	$\forall x \in] 0; + \infty [: 1 + 2 \ln x ≻ 0$
$\Leftrightarrow x ≻ e^{- \frac{1}{2}}$
$\Leftrightarrow x ≻ \frac{1}{\sqrt{e}}$

بما أنه بجوار $- \infty$ لدينا $f (x) = (x + 1) + (- e^{x})$ مع $\lim_{x \to - \infty} (- e^{x}) = 0$ فإن $y = x + 1$ معادلة مقارب مائل لمنحنى الدالة f بجوار $- \infty$
بما أن $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} x \ln x = + \infty$ فإن منحنى الدالة f يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الاراتيب بجوار $+ \infty$

التمرين

$\Leftrightarrow e^{- 2 x} \leq 1$	$1 - e^{- 2 x} \geq 0$
$\Leftrightarrow - 2 x \leq 0$
$\Leftrightarrow x \geq 0$