الدوال اللوغاريتمية

تمرين1
حل في

ℝ

المعادلات التالية :

\begin{array}{l} \ln x + \ln (3 x + 2) = \ln (2 x + 3) \\ \ln (x^{2} - 4) = \ln 5 + 2 \ln 3 \\ \ln | x + 1 | - \ln | x | = 0 \\ \ln \sqrt{x + 1} = \ln (3 - x) - \frac{1}{2} \ln 2 x \end{array}

الجواب تمرين 2
حل في

ℝ

المتراجحات التالية :

\begin{array}{l} \ln (2 x^{2} - 3 x - 5) ≺ 2 \ln 2 \\ {(\ln x)}^{2} - (\ln x) - 6 \leq 0 \end{array}

الجواب تمرين 3
حل في

ℝ^{2}

النظمات التالية :

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 13 \\ \ln x + \ln y = \ln 6 \end{cases} {\begin{cases} 5 x + 4 y = 12 \\ \ln (x - 1) + \ln y = \ln 3 - \ln 5 \end{cases}

الجواب تمرين 4
احسب النهايات التالية :

\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (3 x - 2)}{\sqrt[3]{x}}; \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 2 \ln x}{x + \ln x}; \lim_{x \to + \infty} \frac{{(\ln x)}^{4}}{x^{2}} \\ \lim_{x \to + \infty} (x - {(\ln x)}^{2}); \lim_{x \to \infty} x \ln x (\frac{x - 1}{x}); \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} {(\ln x)}^{3}}{\ln (1 + 2 x)} \\ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\ln (1 + 2 x)}; \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 3 x - x^{2})}{x}; \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x)}{\sqrt{x}} \\ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{4 x^{2}}; \lim_{x \to 0} x^{4} \ln x; \lim_{x \to 0} x \ln (x^{2} - x); \lim_{x \to 0} (\ln \cos x) \ln x \\ \lim_{x \to 1} (x - 1) \ln \sqrt{x^{2} + 2 x - 3}; \lim_{x \to 1} \frac{\ln {(2 x - 1)}^{3}}{x^{2} + x - 2}; \lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x^{2} + x - 2} \end{array}

الجواب تمرين 5
ادرس قابلية اشتقاق الدالةfثم احسب الدالة المشتقة لكلxمن مجموعة قابلية اشتقاق الدالةf.

\begin{array}{l} f : x \mapsto \ln (\frac{x - 1}{x + 1}); f : x \mapsto \ln | x + \frac{1}{x} |; f : x \mapsto \frac{\ln x}{x + 1} \\ f : x \mapsto \frac{1 + \ln x}{x}; f : x \mapsto \frac{x^{2}}{2} - x \ln x \end{array}

الجواب تمرين 6
حدد دوال أصلية للدوال التالية :

\begin{array}{l} x \mapsto 3 + \frac{2}{x - 1} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}; x \mapsto \frac{2 \ln (x) . \frac{1}{x}}{{(\ln x)}^{2}}; x \mapsto \frac{2 x}{x^{2} + 1} \\ x \mapsto \frac{2}{x - 1}; x \mapsto \frac{- 4}{3 x - 5} \end{array}

الجواب تمرين 7
نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

f : x \mapsto \frac{x}{x - 1} + \ln | x - 1 |

حدد مجموعة تعريف الدالةfو احسب $f (0)$
ادرس تغيرات الدالةfثم استنتج اشارةf.
لتكنgالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : $g : x \mapsto x \ln | x - 1 |$
ادرس و مثل مبيانيا الدالةg.

الجواب تمرين8
لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

{\begin{cases} f (x) = x \ln x; x 〉 0 \\ f (0) = 0 \end{cases}

ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfعلى $ℝ^{+}$
اتمم دراسة الدالةfو مثلها مبيانيا.

الجواب تمرين 9
ادرس و مثل مبيانيا الدوال التالية:

\begin{array}{l} f : x \mapsto \frac{| \ln x |}{x}; f : x \mapsto (x + 1) + \ln \frac{x + 2}{x + 1} \\ f : x \mapsto \frac{x}{x^{2} - 1} + \ln \frac{x + 1}{x - 1}; f : x \mapsto - x^{3} + x^{3} \ln x \\ {\begin{cases} f (x) = \frac{1 - x^{2}}{\ln x}; x \in I R_{+}^{*} \ {1} \\ f (1) = - 2 \\ f (0) = 0 \end{cases}; {\begin{cases} f (x) = x \ln \frac{1}{| x |}; x \neq 0 \\ f (0) = 0 \end{cases} \end{array}

الجواب

جواب التمرين 1

تذكير
لكل x و y من

ℝ^{* +}

لدينا :

$\ln (x \times y) = \ln x + \ln y$
$\ln (\frac{1}{x}) = - \ln x$
$\ln (\frac{x}{y}) = \ln x - \ln y$
$\ln (x^{r}) = r \ln x$ مع $r \in ℚ$
$\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$
$\ln x ≺ \ln y \Leftrightarrow x ≺ y$
$\begin{array}{l} {\begin{cases} e ≃ 2,718 \\ \ln e = 1 \end{cases} \end{array}$

(E) : \ln x + \ln (3 x + 2) = \ln (2 x + 3)

لتكن D مجمموعة تعريف المعادلة E

$= {x \in ℝ / x ≻ 0} \cap {x \in ℝ / 3 x + 2 ≻ 0} \cap {x \in ℝ / 2 x + 3 ≻ 0}$	D
$= {x \in ℝ / x ≻ 0} \cap {x \in ℝ / x ≻ - \frac{2}{3}} \cap {x \in ℝ / x ≻ - \frac{3}{2}}$
$= ℝ^{* +}$

لكل x من

ℝ^{* +}

لدينا :

(E)

تكافئ

\ln x (3 x + 2) = \ln (2 x + 3)

تكافئ

x (3 x + 2) = (2 x + 3)

تكافئ

x = 1

اذن

S = {1}

التمرين

جواب التمرين 2

\ln (2 x^{2} - 3 x - 5) ≺ 2 \ln 2

لتكن D مجموعة تعريف المتراجحة

(E)

D = {x \in ℝ / 2 x^{2} - 3 x - 5 ≻ 0}

. لندرس إشارة الثلاثية

2 x^{2} - 3 x - 5

$= {(- 3)}^{2} - 4 (2) (- 5)$	$Δ$
$= 9 + 40$
$= 49$

بما أن

Δ ≻ 0

فإن للثلاثية جذرينين مختلفين هما :

x_{1} = - 1; x_{2} = \frac{5}{2}

إذن

D =] - \infty; - 1 [\cup] \frac{5}{2}; + \infty [

.
لكل x من D :

$(E)$	$\ln (2 x^{2} - 3 x - 5) ≺ \ln 4 \Leftrightarrow$
	$2 x^{2} - 3 x - 5 ≺ 4 \Leftrightarrow$
	$2 x^{2} - 3 x - 9 ≺ 0 \Leftrightarrow$

بما أن

Δ = 81

أي

Δ ≻ 0

فإن للثلاثية

2 x^{2} - 3 x - 9

جذرين مختلفين هما :

3; \frac{- 3}{2}

و عليه :

S =] \frac{- 3}{2}; 3 [\cap D =] \frac{- 3}{2}; - 1 [\cup] \frac{5}{2}; 3 [

التمرين

جواب التمرين 3
بدون جواب

التمرين

جواب التمرين 4

تذكير 1

\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty

\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0^{+}

تذكير 2

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1

\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty

\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0^{-}

تذكير 3

\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1

$\lim_{x \to + \infty} {(\frac{\ln x}{\sqrt{x}})}^{4}$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{{(\ln x)}^{4}}{x^{2}}$
$= \lim_{x \to + \infty} {(2 \frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{4}$
$= 16 \lim_{x \to + \infty} {(\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{4}$
$= 16 \lim_{X \to + \infty} \frac{\ln X}{X} = 0$

نضع

X = \sqrt{x}

إذن

X \to + \infty; x \to + \infty

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{3 - 2 \frac{\ln x}{x}}{1 + \frac{\ln x}{x}}$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 2 \ln x}{x + \ln x}$
$= 3$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x (3 - \frac{2}{x})}{\sqrt[3]{x}}$	$\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (3 x - 2)}{\sqrt[3]{x}}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}} + \frac{\ln (3 - \frac{2}{x})}{\sqrt[3]{x}}$
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{3 \ln \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{\ln (3 - \frac{2}{x})}{\sqrt[3]{x}}$
$= 0$

التعليل

نضع $X = \sqrt[3]{x}$ . $x \to + \infty; X \to + \infty$ إذن : $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{X \to + \infty} \frac{\ln X}{X} = 0$
بما أن $\lim_{x \to + \infty} \ln (3 - \frac{2}{x}) = \ln (3)$ فإن $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (3 - \frac{2}{x})}{\sqrt[3]{x}} = 0$

التمرين

جواب التمرين 5

تذكير
لتكن h دلة عددية لمتغير حقيقي x.
إذا كانت h قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على مجال I من

ℝ

فإن الدالة

f : x \mapsto \ln (| h (x) |)

قابلة للإشتقاق على I و :

\forall x \in I : f^{'} (x) = \frac{h^{'} (x)}{h (x)}

f : x \mapsto \frac{\ln x}{x + 1}

الدالة

x \mapsto \ln x

قابلة للإشتقاق على

ℝ^{* +}

. الدالة

x \mapsto x + 1

قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على

ℝ^{* +}

.
إذن الدالة

f : x \mapsto \frac{\ln x}{x + 1}

قابلة للإشتقاق على

ℝ^{* +}

و :

$= \frac{(\frac{1}{x}) (x + 1) - \ln x}{{(x + 1)}^{2}}$	$\forall x \in ℝ^{* +} : f^{'} (x)$
$= \frac{(x + 1) - x \ln x}{x {(x + 1)}^{2}}$

f : x \mapsto \ln | x + \frac{1}{x} |

الدالة

x \mapsto x + \frac{1}{x}

قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على كل من المجالين

I =] - \infty; 0 [

J =] 0, + \infty [

.
استنادا على هذا فإن الدالة

f : x \mapsto \ln | x + \frac{1}{x} |

قابلة للإشتقاق على كل من المجالين I و J و :

$= \frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{x + \frac{1}{x}}$	$\forall x \in ℝ^{*} : f^{'} (x)$
$= \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} \times \frac{x}{x^{2} + 1}$
$= \frac{x^{2} - 1}{x (x^{2} + 1)}$

التمرين

جواب التمرين 6

تذكير
لتكن h دلة عددية لمتغير حقيقي x.
إذا كانت h قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على مجال I من

ℝ

فإن الدالة

x \mapsto \ln | h (x) | + λ

حيث

λ \in ℝ

، دالة أصلية للدالة

x \mapsto \frac{h^{'} (x)}{h (x)}

على المجال

I

f : x \mapsto \frac{2 x}{x^{2} + 1}

الدالة

g : x \mapsto x^{2} + 1

قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على

ℝ

. وبما أن :

$= \frac{2 x}{x^{2} + 1}$	$\forall x \in ℝ : f (x)$
$= \frac{g^{'} (x)}{g (x)}$

فإن

F : x \mapsto \ln | g (x) | + λ

أي

F : x \mapsto \ln | x^{2} + 1 | + λ

حيث

λ \in ℝ

دالة أصلية للدالة f على

ℝ

f : x \mapsto 3 + \frac{2}{x - 1} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}

الدالة

g : x \mapsto x - 1

قابلة للإشتقاق ولا تنعدم على كل من المجالين

I =] - \infty; 1 [

J =] - \infty; 1 [

و لكل

x \neq 1

$= 3 + 2 \times \frac{1}{x - 1} - 4 \times \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$	$f (x)$
$= 3 + 2 \frac{g^{'} (x)}{g (x)} - 4 \frac{- g^{'} (x)}{{(g (x))}^{2}}$

إذن الدالة

F : x \mapsto 3 x + 2 \ln | g (x) | - \frac{4}{g (x)} + λ

أي

F : x \mapsto 3 x + 2 \ln | x - 1 | - \frac{4}{x - 1} + λ

حيث

λ \in ℝ

دالة أصلية للدالة f على كل من المجالين I و J. التمرين

جواب التمرين 7

f : x \mapsto \frac{x}{x - 1} + \ln | x - 1 |

$= {x \in ℝ / x - 1 \neq 0}$	$D_{f}$
$= {x \in ℝ / x \neq 1}$
$=] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$

$f (0) = 0$

الدالة

x \mapsto x - 1

قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على كل من المجالين

I =] - \infty; 1 [

J =] 1; + \infty [

إذن الدالة f قابلة للإشتقاق على كل من المجالين I و J و :

$= \frac{(x - 1) - x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x - 1)}$	$\forall x \in D_{f} : f^{'} (x)$
$= \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x - 1)}$
$= \frac{- 1 + x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$
$= \frac{x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

لكل

x \neq 1

الصيغتين

f^{'} (x)

(x - 2)

لهما نفس الإشارة.

g : x \mapsto x \ln | x - 1 |

مجموعة التعريف:
$D_{g} =] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$

النهايات عند محدات مجموعة التعريف

$= \lim_{x \to - \infty} x \ln \| x - 1 \|$	$\lim_{x \to - \infty} g (x)$
$= - \infty$

$= \lim_{x \to 1} x \ln | x - 1 |$ $\lim_{x \to 1} g (x)$

$= - \infty$
$= \lim_{x \to + \infty} x \ln | x - 1 |$ $\lim_{x \to + \infty} g (x)$

$= + \infty$

قابلية الاشتقاق و التغيرات:
الدالة $x \mapsto | x - 1 |$ موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على كل من المحالين $I =] - \infty; 1 [$ و $J =] 1; + \infty [$ إذن الدالة $x \mapsto \ln | x - 1 |$ قابلة للاشتقاق على كل من المجالين I و J و بالمثل الدالة g.

$= \ln | x - 1 | + \frac{x}{x - 1}$ $\forall x \neq 1 : g^{'} (x)$

$= f (x)$

لدراسة تغيرات الدالة g نستعين بجدول اشارة الدالة f.

الفروع اللانهائية

بما أن $\lim_{x \to 1} f (x) = - \infty$ فإن المستقيم $x = 1$ مقارب رأسي لمنحنى الدالة g.

بما أن

$= \lim_{\| x \| \to + \infty} \ln \| x - 1 \|$	$\lim_{\| x \| \to + \infty} \frac{g (x)}{x}$
$= + \infty$

فإن منحنى الدالة g يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الأراتيب بجوار

+ \infty

- \infty

التقعر

$= \frac{(x - 1) - x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x - 1)}$	$\forall x \neq 1 : g^{'} (x)$
$= \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x - 1)}$
$= \frac{- 1 + x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$
$= \frac{(x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

إذن لكل

x \neq 1

إشارة

g^{"} (x)

هي إ شارة

(x - 2)

المنحنى

التمرين

جواب التمرين 8
التمرين

$= \lim_{x \to 1} x \ln \| x - 1 \|$	$\lim_{x \to 1} g (x)$
$= - \infty$

$= \lim_{x \to + \infty} x \ln \| x - 1 \|$	$\lim_{x \to + \infty} g (x)$
$= + \infty$

$= \ln \| x - 1 \| + \frac{x}{x - 1}$	$\forall x \neq 1 : g^{'} (x)$
$= f (x)$