مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

فروض محروسة لمستوى الجذع المشترك

---

|فرض 1| فرض 2| فرض 3|

فرض 1

تمرين 1

حدد قيمة العدد الصحيح الطبيعي n كي يكون $n_{}^2+4n+3$ عددا أوليا.

تمرين 2

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا $\left(n\ge 2\right)$ حيث $n-2$ قابل للقسمة على 7
اثبت ان $n_{}^3-1$ قابل للقسمة على 7

تمرين 3

1. عمل $n_{}^3-8$ حيث n عدد صحيح طبيعي اكبر من 2 قطعا
2. استنتج تعميلا ل $n_{}^3+n-10$
3. حدد قيمة n كي يكون $n-2$ قاسم للعدد $n_{}^3+n$

تمرين 4

حدد x و y حيث $\overline{43xy}$ قابل للقسمة على 5 و 4

تمرين 5

احسب $PGCD$ و $PPCM$ الاعداد الصحيحة الطبيعية الغير منعدمة a و b المعرفة ب $a=5_{}^{n+2}-5_{}^n$ و $b=7_{}^{n+2}-7_{}^n$

تمرين 6

نضع $p(x)={\left(x+\sqrt{1+x_{}^2}\right)}_{}^3+{\left(x-\sqrt{1+x_{}^2}\right)}_{}^3$ $\left(x\in ℝ\right)$
بين أن $p(x)$ حدودية محددا درجتها

عناصر الإجابة

البداية

---

فرض 2

أسئلة مستقلة

1. قارن العددين $2\sqrt{5}-5$ و $\sqrt{45-20\sqrt{5}}$
2. حل في $ℝ$ المتراجحة $\left(E_1^{}\right):\left|3+x\right|\le 2$
3. عمل الحدودية $p(x)=x_{}^3-5x_{}^2+8x-4$ علما ان 2 جذر للحدودية $p(x)$
4. اكتب الحدودية $Q(x)=x_{}^2-6x-7$ على شكلها القانوني

تمرين 1

ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين .
1. أنشر الجداء $\left(x+y+\sqrt{xy}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$
2. استنتج كتابة ثانية للعدد $7\sqrt{7}-3\sqrt{3}$
3. قارن العددين $11+\sqrt{30}$ و $\frac{6\sqrt{6}-5\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$

تمرين 2

ليكن x عددا حقيقيا موجبا قطعا . نضع $A=\sqrt{1+x}$ و $B=1+\frac{x}{2}$ و $C=\frac{x_{}^2}{8}+\sqrt{1+x}$
1. اثبت أن $A\rangle 1$ و $B\rangle 1$ و $C\rangle 1$
2. قارن بين $A_{}^2$ و $B_{}^2$ ثم إستنتج أن $\sqrt{1+x}\langle 1+\frac{x}{2}$
3. 
   
   • أثبت أن $C_{}^2-B_{}^2=\frac{x_{}^2}{4}\left(\sqrt{1+x}+\frac{x_{}^2}{16}-1\right)$
   • قارن بين : $C_{}^2$ و $B_{}^2$
   • استنتج أن $1+\frac{x}{2}-\frac{x_{}^2}{8}\langle \sqrt{1+x}$
   • اعط تأطيرا للعدد $\sqrt{\mathrm{1,0002}}$ و قيمة مقربة للعدد $\sqrt{\mathrm{1,0000001}}$ بالدقة ${10}_{}^{-14}$

عناصر الإجابة

البداية

---

فرض 3

أسئلة مستقلة

1. حل في $ℝ$ المعادلة : $x^2-3x+2=0$
2. حل في $ℝ$ المعادلة $x^4-3x^2+2=0$
3. حدد عددين حقيقيين غير منعدمين u و v حيث : $\{\begin{array}{l}\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{5}{2}\\ uv=-\frac{2}{3}\end{array}$
4. حل في $ℝ$ المتراجحة $\frac{6}{-x^2+x-1}\ge -2$

تمرين 1

ليكن ABCD متوازي أضلاع مركزه O
I و J هما على التوالي منتصفي القطعتين $\left[AB\right]$ و $\left[CD\right]$

1. بين ان $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ و $\overrightarrow{OJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
2. استنتج أن O منتصف القطعة $\left[IJ\right]$

تمرين 2

1. ماهي قيم x التي من أجلها تكون الصيغة $\sqrt{-x^2+3x+4}$ معلرفة .
2. حل في $ℝ$ المتراجحة $\frac{1}{2}x+2\ge 0$ .
3. نفترض ان $x\ge -4$ حل في $ℝ$ المعادلة $\sqrt{-x^2+3x+4}=\frac{1}{2}x+2$

عناصر الإجابة

البداية

---

عناصر الإجابة••فرض 1••

تمرين1

لكل n من $\mathbb{N}$ لدينا $n^2+4n+3={\left(n+2\right)}^2-1$ أي $n^2+4n+3=\left(n+3\right)\left(n+1\right)$
لاحظ أنه لكل n من $\mathbb{N}$ المتفاوتة التالية دائما صحيحة $(n+3\rangle n+1)$
استنادا على ما قيل فإن :
$n^2+4n+3$ يكون عددا أوليا إذا كان $n^2+4n+3=n+3$ و $n+1=1$ أي $n=0$

تمرين 2

لكل n من $\mathbb{N}$ لدينا $n^3-1=\left(n^3-8\right)+7$ أي $n^3-1=\left(n-2\right)\left(n^2+2n+4\right)+7$
بما أن $\left(n-2\right)$ قابل للقسمة على 7 فإن $\left(n-2\right)\left(n^2+2n+4\right)$ قابل للقسمة على 7 و عليه فإن $\left(n-2\right)\left(n^2+2n+4\right)+7$قابل للقسمة على 7 أي $n^3-1$ قابل للقسمة على 7

تمرين 3

1. لكل $n\rangle 2$ لدينا $n^3-8=\left(n-2\right)\left(n^2+2n+4\right)$
2. لكل $n\rangle 2$
   $\begin{array}{l}{n}^3+n-10=\left(n^3-8\right)+\left(n-2\right)\\ n^3+n-10=\left(n-2\right)\left(n^2+2n+4\right)+\left(n-2\right)\\ n^3+n-10=\left(n-2\right)\left(n^2+2n+5\right)\end{array}$
3. لكل $n\rangle 2$
   $\begin{array}{l}{n}^3+n=\left(n^3+n-10\right)+10\\ n^3+n=\left(n-2\right)\left(n^2+2n+5\right)+10\end{array}$
   لاحظ أن $\left(n-2\right)$ قاسم للعدد $\left(n-2\right)\left(n^2+2n+5\right)$
   اذن يكون $\left(n-2\right)$ قاسما للعدد $n^3+n$ اذا كان قاسما للعدد 10
   $D_{10}=\{1;2;5;10\}$ الحالات الممكنة هي $\begin{array}{l}n-2=1/\left(n=3\right)\\ n-2=2/\left(n=4\right)\\ n-2=5/\left(n=7\right)\\ n-2=10/\left(n=12\right)\end{array}$

تمرين 4

$\overline{43xy}$ كتابة عدد في الأساس 10 إذن x و y تأخد القيم $9;8;7;6;5;4;3;2;1;0$
$\overline{43xy}$ قابل للقسمة على 5 يعني $y=0$ أو $y=5$
$\overline{43xy}$ قابل للقسمة على 4 يعني $\overline{xy}$ قابل للقسممة على 4 إذن Y عدد زوجي أي $y=0$
ومنه فإن الأعداد التي تكتب على شكل $\overline{x0}$ و قابلة للقسمة على 4 هي $80;60;40;20$ أي $x\in \{2;4;6;8\}$

تمرين 5

$\begin{array}{l}a=5^n\left(5^2-1\right)\\ a=5^n\times 9\\ a=5^n\times 3^2\end{array}$
كما أن
$\begin{array}{l}b=7^n\left(7^2-1\right)\\ b=7^n\times 48\\ b=7^n\times 3\times 2^4\end{array}$
إذن :
$\begin{array}{l}PGCD(a,b)=3\\ PPCM(a,b)=2^4\times 3^2\times 5^n\times 7^n\end{array}$

تمرين 6

لكل x من $ℝ$ $\begin{array}{l}p(x)={\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}^3+{\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)}^3\\ p(x)=\left[\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)\right]\left[{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}^2-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)+{\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)}^2\right]\\ p(x)=2x\left[\left(x^2+2x\sqrt{1+x^2}+1+x^2\right)-\left(x^2-\left(1+x^2\right)\right)+\left(x^2-2x\sqrt{1+x^2}+1+x^2\right)\right]\\ p(x)=2x\left[4x^2+3\right]\\ p(x)=8x^3+6x\end{array}$

الفرض

البداية

---

عناصر الإجابة ••فرض 2••

الفرض

البداية

---

عناصر الإجابة ••فرض 3••

الفرض

البداية

---