الامتحان الوطني 2006

التمرين الأول (نقطتان )

1. حل المعادلة التفاضلية : $y^{"}-6y^{\text{'}}+9y=0$
2. نعتبر المعادلة التفاضلية التالية : $\left(E\right):y^{"}-6y^{\text{'}}+9y=2e^{3x}$
   • بين أن الدالة u المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $u(x)=x^2{e}^{3x}$ هي حل خاص للمعادلة $\left(E\right)$
   • اعط الحل الخاص للمعادلة $\left(E\right)$.

جواب

التمرين الثاني (اربع نقط)

نعتبر في مجموعة الاعداد العقدية $ℂ$ المعادلة : $z^2-2\sqrt{3}\left(1+i\right)z+8i=0$
نرمز ب $z_1$ و $z_2$ لحلي هذه المعادلة بحيث $\Re e\left(z_1\right)\succ \Re e\left(z_2\right)$

1. حدد $z_1$ و $z_2$ ( لاحظ أن ${\left(1-i\right)}^2=-2i$ )
2. • بين أن : $z_1^2=4\left(\sqrt{3}+i\right)$ و $z_2=i\overline{z_1}$
   • اكتب على الشكل المثلثي العدد العقدي $4\left(\sqrt{3}+i\right)$
   • استنتج الشكل المثلثي لكل من العددين $z_1$ و $z_2$
3. نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$النقطتين A و B اللتين لحقاهما على التوالي $z_1$ و $z_2$. احسب $\arg \left(\frac{z_2}{z_1}\right)$ ثم استنتج أن المثلث OAB متساوي أضلاع.

جواب

التمرين الثالث (اربع نثط)

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ِ$\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ النقطة $A\left(1;-1;3\right)$ و المستوى $\left(P\right)$ الذي معادلته : $x-y+3z=0$

1. • تحقق من أن : $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\\ z=3t\end{array}\left(t\in ℝ\right)$ تمثيل بارامتري للمستقيم $\left(OA\right)$
   • حدد معادلة ديكارتية للمستوى $\left(Q\right)$ العمودي على المستقيم $\left(OA\right)$ في النقطة A.
   • تحقق من أن $\left(P\right)$ يوازي المستوى $\left(Q\right)$
2. نعتبر الفلكة $\left(S\right)$ المماسة للمستوى $\left(Q\right)$ في النقطة A و التي يقطعها المستوى $\left(P\right)$ وفق الدائرة $\Gamma$ التي مركزها O و شعاعها $\sqrt{33}$ .
   • بين أن $\Omega \left(a,b,c\right)$ مركز الفلكة $\left(S\right)$ ينتمي إلى $\left(OA\right)$ ثم استنتج أن $b=-a$ و $c=3a$
   • بين أن $\Omega A^2-\Omega O^2=33$ ثم استنتج أن $a-b+3c=-11$.
   • استنتج إحداثيات $\Omega$ مركز الفلكة $\left(S\right)$ ثم بين أن شعاعها يساوي $2\sqrt{11}$

جواب

مسألة (10 نقط)

1. نعتبر الدالة g المعرفة على المجال $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$ بما يلي : $g(x)=\ln (1+x)-x$
   1. • احسب $g^{\text{'}}(x)$ لكل x من $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$ ثم بين أن الدالة g تناقصية قطعا على $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$
      • استنتج أن : $g(x)\le 0$ لكل x من $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$
   2. بين أن $0\prec \ln (1+x)\prec x$ لكل x من $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$
2. نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي : $f(x)=x+\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ و $\left(C\right)$ هو المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ ( الوحدة 1cm ).
   1. بين أن حيز تعريف الدالة f هو : $D=\left]-\infty ,-1\right[\cup \left]\mathrm{1,}+\infty \right[$ .
   2. • بين أن f دالة فردية.
      • احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$
   3. • بين أن : $\forall x\in D:f^{\text{'}}(x)=\frac{x^2-3}{x^2-1}$.
      • استنتج تغيرات الدالة f على المجال $\left]\mathrm{1,}+\infty \right[$
   4. • تحقق من أن المستقيم $\left(\Delta \right)$ الذي معادلته $y=x$ مقارب مائل للمنحنى $\left(C\right)$ .
      • ادرس إشارة $\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$( يمكن ملاحظة أن : $\forall x\in D:\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$).
      • استنتج الوضع النسبي للمنحنى $\left(C\right)$ و المستقيم $\left(\Delta \right)$
   5. أنشئ $\left(C\right)$ في المعلم $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$( نأخذ $\sqrt{3}\simeq \mathrm{1,7}$ و $f\left(\sqrt{3}\right)\simeq 3$)
   6. • بين أن : ${\displaystyle {\int }_2^4\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)dx=5\ln 5-6\ln 3}$ ( يمكن استعمال مكاملة بالأجزاء ).
      • استنتج ب $c{m}^2$ مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى $\left(C\right)$ و المستقيمات التي معادلاتها على التوالي : $x=2$ و $x=4$ و $y=\mathrm{x}$

جواب