الامتحان الوطني
الدورة الاستدراكية

جواب أسئلة

1. 
   
   $\left(E\right):y^{"}+y^{\text{'}}-6y=0$
   المعادلة المميزة للمعادلة $\left(E\right)$ هي : $r^2+r-6=0$ حلولها هي : $r=2$ أو $r=-3$
   إذن حلول المعادلة $\left(E\right)$ هي الدوال العددية المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $y:x\mapsto \alpha e^{2x}+\beta e^{-3x}$ حيث $\left(\alpha ;\beta \right)\in {ℝ}^2$
2. 
   
   $z=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}$

   $=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}$	$z$
   $=\frac{\left[\mathrm{2,}\frac{\pi }{3}\right]}{\left[\sqrt{2},-\frac{\pi }{4}\right]}$
   $=\left[\frac{2}{\sqrt{2}},\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right]$
   $=\left[\sqrt{2},\frac{7\pi }{12}\right]$

3. 
   
   $I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos x\ln (1+\cos x)dx}$
   نضع $u^{\text{'}}(x)=\frac{1}{1+\cos x}\left(-\sin x\right)$ و $u(x)=\ln (1+\cos x)$
   $v^{\text{'}}(x)=\cos x$ و $v(x)=\sin x$
   إذن :

   $={\left[\sin x(\ln (1+\cos x))\right]}_0^{\raisebox{1ex}{$\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx}$	$I$
   $={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1-{\cos }^{2}x}{1+\cos x}dx}$
   $={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1-\cos xdx}$
   $={\left[x-\sin x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$
   $=\frac{\pi }{2}-1$

4. 
   

   $=u_1+u_2+\mathrm{.......}+u_n$	$S_n$
   $=\left(1+\left(\frac{1}{3}\right)\right)+\left(2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right)+\left(3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\right)+\mathrm{......}\left(n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)$
   $=\left(1+2+3+\mathrm{.....}+n\right)+\left(\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\mathrm{......}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)$
   $=n\frac{\left(n+1\right)}{2}+\frac{1}{3}\frac{\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{3}}$
   $=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)$

جواب التمرين 1

1. 
   

   $=\frac{\left|1-0+1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+{\left(-1\right)}^2}}$	$d(\Omega ,P)$
   $=\frac{2}{\sqrt{2}}$
   $=\sqrt{2}$

   بما أن $d\left(\Omega ,P\right)\prec r$ فإن $P$ و $S$ يتقاطعان وفق دائرة $C$
2. ليكن $R$ شعاع الدائرة $C$ لدينا :

   $=\sqrt{r^2-{\left(d(\Omega ,P)\right)}^2}$	$R$
   $=\sqrt{4-2}$
   $=\sqrt{2}$

   
   نعلم أن $H\left(x;y;z\right)$ مركز الدائرة $C$ هو نقطة تقاطع المستوى $P$ و المستقيم $\left(\Delta \right)$ المار من $\Omega$ و العمودي على $P$.
   لدينا $\begin{array}{l}\left(\Delta \right):\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=0\\ z=-t\end{array}\left(t\in ℝ\right)\\ \left(P\right):x-z+1=0\end{array}$ من $\left(\Delta \right)$ و $\left(P\right)$ نستنتج أن $\left(1+t\right)-\left(-t\right)+1=0$ أي $t=-1$ إذن : $H\left(0;0;1\right)$

جواب التمرين 2

1. 
   

   $=1-2i+i^2$	${\left(1-i\right)}^2$
   $=1-2i-1$
   $=-2i$

2. $z^2-2(1+2i)z-(3-6i)=0$

   $=4{\left(1+2i\right)}^2+4\left(3-6i\right)$	$\Delta$
   $=4(-3+4i)+4(3-6i)$
   $=4\left(-2i\right)$
   $=4{\left(1-i\right)}^2$
   $={\left(2-2i\right)}^2$

   
   $2-2i$ احد الجذور المربعة للعدد العقدي $\Delta$ اذن : $z=\frac{2\left(1+2i\right)+\left(2-2i\right)}{2}=2+i$ أو $z=\frac{2\left(1+2i\right)-\left(2-2i\right)}{2}=3i$
3. 
   

   $\iff \left|z-3i\right|=\left|z-(2+i)\right|$	$\left|z-3i\right|=\left|z-2-i\right|$
   $\iff AM=BM$

   و منه فإن $\left(D\right)$ هي واسط القطعة $\left[AB\right]$.

جواب التمرين 3

1. $\frac{C_4^1}{C_6^1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
2. 5 اختبارات مستقلة(توزيع حداني)
   $C_5^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^3$ مع $\frac{2}{3}$ هو احتمال الحصول على كرة بيضاء في الاختبار الواحد.
3. • في هذه التجربة لدينا n اختبارا مستقلا، كما أن الحدث المضاد للحدث :
     A:كرة بيضاء على الأقل هو الحدث B:جميع الكرات من لون أسود
     و عليه فإن $p=p(A)=1-p(B)$
     نعلم أن احتمال الحصول على كرة سوداء في الاختبار الواحد هو : $\frac{C_2^1}{C_6^1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ و عليه فإن احتمال الحصول على n كرة سوداء هو $p(B)=C_n^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^n{\left(\frac{2}{3}\right)}^0={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ (توزيع حداني) . إذن : $p=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$
   • 
     

     $\iff 1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\ge \mathrm{0,999}$	$p\ge \mathrm{0,999}$
     $\iff -{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\ge -{10}^{-3}$
     $\iff {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\le {10}^{-3}$
     $\iff \log {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\le \log {10}^{-3}$
     $\iff -n\log 3\le -3$
     $\iff n\ge \frac{3}{\log 3}\simeq \mathrm{6,25}$

     إذن $n=7$

جواب المسألة

1. • • $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)=+\infty$
     • $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)=-\infty$
   • الدالة $x\mapsto \frac{x}{2-x}$ موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على المجال $\left]0;2\right[$ إذن f قابلة للاشتقاق على المجال $\left]0;2\right[$ و :

     $=\frac{\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right|}{{\left(2-x\right)}^2}\times \frac{\left(2-x\right)}{x}$	$\forall x\in \left]0;2\right[:f^{\text{'}}(x)$
     $=\frac{2}{x\left(2-x\right)}$

   • $\forall x\in \left]0;2\right[:f^{\text{'}}(x)\succ 0$
     
2. • $a=1;b=0$
     

     $=f(2-x)+f(x)$	$f(2a-x)+f(x)$
     $=\ln \left(\frac{2-x}{2-(2-x)}\right)+\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)$
     $=\ln \left(\frac{2-x}{x}\right)+\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)$
     $=-\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)+\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)$
     $=0$
     $=2b$

     أي $A(1;0)$ مركز تماثل لمنحنى الدالة f.
   • معادلة ديكارتية للمماس $\left(T\right)$ للمنحنى $\left(C\right)$ في النقطة $A(1;0)$ تكتب على شكل : $y=f^{\text{'}}(1)(x-1)+f(1)$ أي $y=2x-2$
3. $\forall x\in \left]0;2\right[:\varphi (x)=f(x)-x$
   • • 
       

       $=f\left(\frac{7}{4}\right)-\frac{7}{4}$	$\varphi \left(\frac{7}{4}\right)$
       $=\ln \left(\frac{\frac{7}{4}}{2-\frac{7}{4}}\right)-\frac{7}{4}$
       $=\ln 7-\frac{7}{4}$
       $\simeq \mathrm{1,94}-\frac{7}{4}\succ 0$

     • 
       

       $=f\left(\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{2}$	$\varphi \left(\frac{3}{2}\right)$
       $=\ln \left(\frac{\frac{3}{2}}{2-\frac{3}{2}}\right)-\frac{3}{2}$
       $=\ln (3)-\frac{3}{2}$
       $=\mathrm{1,1}-\frac{3}{2}\prec 0$

   • • بما أن الدالة f متصلة المجال $\left]\frac{3}{2};\frac{7}{4}\right[$ فان الدالة $\varphi$ متصلة على المجال $\left]\frac{3}{2};\frac{7}{4}\right[$
     • بما أن $\varphi$ متصلة على المجال $\left]\frac{3}{2};\frac{7}{4}\right[$ و $\varphi \left(\frac{3}{2}\right)\varphi \left(\frac{7}{4}\right)\prec 0$ فإنه تبعا لميرهنة القيم الوسيطية ، المعادلة $\varphi (x)=0$ أي $f(x)=x$ تقبل حلا a بحيث $\frac{3}{2}\prec a\prec \frac{7}{4}$.
       التأويل المبياني: منحنى الدالة f و المنصف الأول يلتقيان نقطة $B\left(a;a\right)$ حيث $\frac{3}{2}\prec a\prec \frac{7}{4}$
4. 1. الدالة f متصلة و تزايدية قطعا على المجال $\left]0;2\right[$ ، إذن فهي تقابل من $\left]0;2\right[$ نحو $\left]-\infty ;+\infty \right[$ و تقبل دالة عكسية $f^{-1}$ معرفة كما يلي :
      

      $ℝ\to \left]0;2\right[$	$f^{-1}:$
      $x\mapsto f^{-1}(x)$

   2. 
      

      $\iff x=f(y)$	$\forall x\in ℝ,\forall y\in \left]0;2\right[:f^{-1}(x)=y$
      $x=\ln \left(\frac{y}{2-y}\right)$
      $e^x=\frac{y}{2-y}$
      $y=\frac{2e^x}{1+e^x}$

5. 
   
6. 1. 
      

      $={\left[\ln (1+e^x)\right]}_0^a$	${\displaystyle {\int }_0^a\frac{e^x}{1+e^x}dx}$
      $=\ln (1+e^a)-\ln \left(2\right)$
      $=\ln \left(\frac{1+e^a}{2}\right)$

   2. 
      
      

      $={\displaystyle {\int }_0^a{f}^{-1}(x)dx}-{\displaystyle {\int }_1^{a}f(x)dx}$	$S$
      $=2{\displaystyle {\int }_0^a\frac{e^x}{1+e^x}}dx-{\displaystyle {\int }_1^a\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)}dx$
      $=2\ln \left(\frac{1+e^a}{2}\right)-I$

      مع $I={\displaystyle {\int }_1^a\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)dx}$. لحساب I نستعمل مكاملة بالأجزاء بوضع :
      $u(x)=\ln \left(\frac{x}{2-x}\right),u^{\text{'}}(x)=\frac{2}{x\left(2-x\right)}$
      $v(x)=x;v^{\text{'}}(x)=1$ .......