حل معادلة من الدرجة الثالثة

Résolution d'équation du 3ième degré par la méthode trigonométrique


f(x) = a x³ + b x² + c x + d = 0

x³ + x² + x + = 0


  
Méthode trigonométrique :
f(x) = ax³ + bx² + cx + d =0
On pose
p = (3ac - b²)/(3a²);
q = (2b³ - 9abc + 27a²d)/(27a³);
x = z - b/3a
g(z) = z³ + pz + q = 0

on pose z = ρ cos(θ) donc
g(z) = ρ³ cos³(θ) + pρ cos(θ) + q = cos³(θ) 
+ p/ρ² cos(θ) + q/ρ³ = cos(3θ)/4 + 3 cos(θ)/4 
+ p/ρ² cos(θ) + q/ρ³ = 0= cos(3θ) 
+ 3 cos(θ) + 4p/ρ² cos(θ) + 4q/ρ³ = cos(3θ) 
+ 4q/ρ³ + (3 + 4p/ρ²) cos(θ) = 0
On pose 3 + 4p/ρ² = 0 et cos(3θ) 
+ 4q/ρ³ = 0 si |4q/ρ³| ≤ 1 et ρ ≠ 0
3ρ² + 4p = 0 et cos(3θ) = - 4q/ρ³
donc ρ² = -4p/3 et ρ = 2√  
-p/3
et cos(3θ) = (3q/2p)√
-3/p
donc 3θ = acos((3q/2p)√
-3/p
) + 2kπ et θ = acos((3q/2p)√
-3/p
)/3 + 2kπ/3 et donc z = 2√
-p/3
cos(θ) = 2√
-p/3
cos(acos((3q/2p)√
-3/p
)/3 + 2kπ/3) et x = 2√
-p/3
cos(acos((3q/2p)√
-3/p
)/3 + 2kπ/3) - b/3a si |4q/ρ³| > 1 on prend cosh à la place de cos (et donc acosh) sauf si cosh(3θ) < 1 Si p > 0 on prend z = - ρ cos(θ) = i² ρ cos(θ)