SECTION SCIENCES ECONOMIQUES

 

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Mathématiques Financières

1)

VALEUR ACQUISE PAR UN CAPITAL

Soit C un capital placé pendant t années au taux annuel i. On appelle valeur acquise par ce capital, la quantité Ct = C+ It , somme du capital et des intérêts produits.
Si t est entier, Ct est donnée par l’une des deux formules du chapitre précédent:

Ct = C ( 1 + it) à intérêts simples

Ct = C ( 1 + i )t à intérêts composés

•• Si t n’est pas entier, on peut le convertir en années, mois, jours moyennant la convention simplificatrice que, dans n’importe quel mois, il y a 30 jours.

Si donc t années correspondent à n années entières, m mois et p jours, on a:

* à intérêts simples:

Ct = C ( 1 + ni + mi/12 + pi/360)

[i/12] est le taux mensuel proportionnel au taux annuel i, la valeur [i/360] représentant le taux journalier proportionnel au taux annuel i.

Ct = C ( 1 + (n + m/12 + p/360) i), Ct = C ( 1 + ti)

* à intérêts composés:

Ct = C ( 1 + i )n ( 1 + i )m/12 ( 1 + i)p/360

[( 1 + i )1/12 - 1] est le taux mensuel équivalent au taux annuel i,et [ 1 + i )1/360 - 1] le taux journalier équivalent au taux annuel i.

Ct = C ( 1 + i )(n + m/12 + p/360 ) , Ct = C ( 1 + i )t

Ces deux formules généralisent celles du chapitre précedent.

 

2) VALEUR ACTUELLE
On suppose, dans ce chapitre, que les calculs se font à intérêts composés, seul cas intéressant dans ce type de problème. Considérons un capital C0 à l’instant t = 0, un capital Ct à l’instant t > 0

Si la valeur acquise à l’instant t par C0 , placé au taux annuel i, est égale à Ct , on dit que C0 est la valeur actuelle de Ct.

Ct = C0 ( 1 + i )t => C0 = Ct ( 1 + i )-t

C0 <=> Ct -----Valeur actuelle <=> Valeur acquise

 

3) EQUIVALENCE DE CAPITAUX

 On considère deux capitaux, placés au taux annuel i, (une origine des temps fixée)
C1 à la date t1 (années), C2 à la date t2 (années)

On dit que ces deux capitaux (ou placements) sont équivalents s'il existe une date t en laquelle ils ont la même valeur acquise, donc:

C1 ( 1 + i )t-t1 = C2 ( 1 + i )t-t2 ou bien

C1 ( 1 + i )-t1 = C2 ( 1 + i )-t 2

Chacune de ces deux quantité est, selon le cas, une valeur actuelle ou une valeur acquise.

t---------t1---------t2--- on aura 2 valeurs actuelles

t1--------t----------t2--- une valeur actuelle et une valeur acquise

t1--------t2---------t---- deux valeurs acquises

On constate que, si deux capitaux sont équivalents à une certaine date, ils sont équivalents en toute autre date; donc pour établir une équivalence, ou comparer des capitaux on aura le choix dans une optique de minimiser le nombre de calculs.

 

4) CONCLUSION

Au niveau des formules, il n’y a pas lieu de distinguer une valeur acquise d’une valeur actuelle à condition de considérer l’exposant t comme une date non nécéssairement positive; on retiendra le résultat comme suit;

Un capital vaut Co à la date 0, sa valeur à la date t est donnée par la formule

Ct = C0 ( 1 + i )t

où i est le taux d’intérêt par période et t, positif, négatif ou nul est mesuré, à partir de 0, en adoptant cette période comme unité.