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Statistique

Les Indices
  1. Les indices élémentaires
    1.1/ Présentation
    Définition:
    un indice élémentaire est un rapport entre deux valeurs d’une série à deux dates ou deux espaces différents.
    Il est représenté par : I c/r =100. V c V r
    avec Vc valeur observée à une date donnée ou dans un espace donné ;
    Vr valeur de référence (à la date r ou dans un espace r).
    En général,l’indice élémentaire relatif au temps s’écrie : I t/t' =100. V t V t'
    L’indice est exprimé en pourcentage (d’où la multiplication par 100)

    1.2/ Propriétés des indices élémentaires :

    1.2.1/La circularité

    Un indice à la date t exprimé par rapport à une année de référence t, peut être décomposé en plusieurs indices élémentaires à des dates successives (ou à des dates intermédiaires) de la façon suivante :

    I t/t' =100.[ I t/t1 100 . I t1/t2 100 .... I t'+1/t' 100 ]

    Démonstration :

    I t/t' =100. V t V t' =100[ V t V t1 . V t1 V t2 ... V t'+1 V t' ]=100.[ I t/t1 100 . I t1/t2 100 .... I t'+1/t' 100 ]
    Donc, dès lors que nous observons des indices intermédiaires sur la période considérée nous pouvons en déduire un indice global. On dit alors que les indices élémentaires sont enchaînables.

    Cas particuliers :

    -Utile pour changement de base :

    Soit deux indices I t/0 et I t'/0 , exprimés en base 0 (année 0). On veut exprimer l’indice à la date t par rapport à la date t’. Donc, on veut effectuer un changement de base. Comment procède-t-on ?
    A l’aide de la formule générale: I t/0 =100.[ I t/t' 100 . I t'/0 100 ]
    D’où : I t/t' =100.[ I t/0 I t'/0 ]

    1.2.2- La réversibilité

    Quand on inverse le rôle de la base de référence et celle de la valeur courante, l’indice élémentaire s’inverse à 104 près :
    I r/c = 10 4 . 1 I c/r
    Démonstration :
    I r/c . I c/r =100. V r V c .100 V c V r = 10 4
  2. Les indices synthétiques
    2.1/ Définition : :
    Un indice synthétique est une grandeur composite qui résume un ensemble d’indices simples basés sur des grandeurs hétérogènes (i.e. ne pouvant pas être additionnées).

    Exemple : L’indice des prix à la production agrégé.
    La production d’une économie est composée de plusieurs biens.
    Ainsi, un indice des prix à la production de toute une économie (indice agrégé) sera une grandeur composite représentant les prix moyens de ces biens ou plutôt leur évolution moyenne.

    Comment alors calculer un prix ‘synthétique’ moyen ?
    Comment de la même manière, calculer une quantité ‘synthétique moyenne’, sans ajouter des kilos d’ un bien (ex. café) avec des tonnes d’un autre bien (ex. acier) ?

    2.2/ L’indice de Laspeyres

    • Laspeyres des prix: L t/0 p =100. ( p i,t . q i,0 ) ( p i,0 . q i,0 )
    On remarquera que :
    1/ seuls les prix varient dans cette relation
    2/ L’indice de Laspeyres se réduit à un indice élémentaire quand il existe seulement un seul bien puisque : L t/0 p =100. p t . q 0 p 0 . q 0 =100. p t p 0

    • Laspeyres des quantités: L t/0 q =100. ( p i,0 . q i,t ) i ( p i,0 . q i,0 )

    2.3/ L’indice de Paasche

    •Indice de Paasche des prix : P t/0 p =100. ( p i,t . q i,t ) i ( p i,0 . q i,t )
    Cet indice est connu comme étant l’indice de Paasche. Sa seule différence par rapport à celui de Laspeyres est que le ‘poids’ qi de chaque prix doit être observé à la date ‘t’.

    •Indice de Paasche des quantités : P t/0 q =100. ( p i,t . q i,t ) i ( p i,t . q i,0 )
    Ici, les quantités élémentaires varient seulement entre 0 et t. Les rôles s’inversent et les prix deviennent alors les poids exprimés à la date t uniquement.