مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

مبادئ في المنطق
Quelques Eléments de Logique Mathématique


|تقديم| العبارة| الدالة العبارية| المكممات| ترتيب المكممات| العمليات المنطقية | الاستدلال|

تقديم


إن الهدف من إدراج فقرة مبادئ في المنطق بجميع المسالك، هو تزويد التلاميذ بمفاهيم ومبادئ أولية لتنظيم أفكارهم ومدهم بتقنيات ونماذج تساعدهم على بناء وصياغة البراهين الرياضية على أسس واضحة وسليمة. إلا أن بلوغ هذه الأهداف لا يتحقق مع انتهاء هذا الفصل، بل لن يتأتى ذلك إلا باستعمال نتائجه كلما سنحت الفرصة بذلك في مختلف فصول البرنامج اللاحقة.

البداية


العبارة


مثال
  1. 1+1=2 نص رياضي يحمل معنى صحيحا ( v ) ...عبارة
  2. sin( π 2 )2 نص رياضي يحمل معنى خاطئا ( F ) ...عبارة
جميع قيم الحقيقة في الرياضيات هي نسبية و ليست مطلقة : فهي مرتبطة باختيار الموضوعات التي نختارها كصحيحة.
كل نص رياضي يحمل معنى صحيحا ( v ) أو خاطئا ( F ) يسمى عبارة

البداية


الدالة العبارية


في بعض الأحيان تظهر في النصوص الرياضية متغيرات تنتمي الى مجموعة معينة كما يبين المثال التالي:
x:Q عدد صحيح طبيعي ...دالة عبارية.
هذه الدالة العبارية تصبح عبارة في حالة تعويض المتغير بعدد صحيح طبيعي.معين.
كل نص رياضي يحتوي على متغير ينتمي الى مجموعة معينة يسمى دالة عبارية.

البداية


المكممات


نعتبر المتساويتين : ( 1 ): ( x+1 ) 2 = x 2 +2x+1 ( 2 ): ( x+1 ) 2 = x 2 +1 حيث x ملاحظة
بالرجوع للمتساوية ( 1 ) يمكننا الإنتباه إلى أن :
x: ( x+1 ) 2 = x 2 +2x+1 هي كذلك عبارة صحيحة ( فهي محققة بالنسبة ل x=1 مثلا).

البداية


ترتيب المكممات


لتكن f دالة عددية معرفة على .
نريد التعبير على أن f دالة ثابتة على . هل العبارة التالية تقوم بالمهمة؟ ( x )( c ):f(x)=c
بطبيعة الحال لا : لأن هذه الجملة هي محققة لكل دالة عددية لمتغير حقيقي x مجموعة تعريفها ، كمثال الدالة: f: x x 2 ، لكل x من نختار c= x 2 .ومع ذلك فإن الدالة f: x x 2 ليست ثابتة ، لأن قيمة c تتغير كلما تغيرت x .
من أجل ذلك وجب علينا تقديم c على x كي لا يرتبط c ب x .
( c )( x ):f(x)=c
في نص رياضي ترتيب المكممات جد مهم.استثناء: إذا كانت المكممات متتابعة و من نفس النوع فإن ترتيبها غير مهم .
مثال : ( x )( y ): x 2 + y 2 =1 ( y )( x ): x 2 + y 2 =1

البداية


العمليات المنطقية


النفي المنطقي|الفصل و العطف المنطقي|الاستلزام المنطقي|التكافئ المنطقي|
النفي المنطقي
مثال
نعتبر العبارة ( P )x: x 2 +x+1=0
هذا النص الرياضي يعني أن المعادلة ( 1 ) x 2 +x+1=0 تقبل حلا على الأقل في .لكن المعادلة ( 1 ) ليس لها حل في لأن مميزها سالب قطعا ، و هذا يمكن التعبير عنه ب: ( ¬P )x: x 2 +x+10 .
هذا النص الجديد يسمى نفي العبار P ونرمز له ب ¬P .
مثال:
نعتبر العبارة ( P )x + * :x+ 1 x 3
هذه العبارة خاطئة لأنه يوجد على الأقل + * حيث x ° + 1 x ° 3 ( مثلا x ° =1 ).
¬P عبارة صحيحة : ( ¬P )x + * :x+ 1 x 3
قاعدة:
نفي العبارة xA:Q(x) هي العبارة xA:¬Q(x)
نفي العبارة xA:Q(x) هي العبارة xA:¬Q(x)

رجوع

الفصل و العطف المنطقي
ليكن x عددا حقيقيا .
نضع
رجوع

الإستلزام المنطقي
تقديم
نعلم أن كل عدد صحيح طبيعي مضاعف للعدد 6 هو مضاعف للعدد 3 يمكننا صياغة ذلك كما يلي :

لتوضيح ذلك نتبع المثال التالي في الجدول أسقله:
مضاعف للعدد 3 مضاعف للعدد 6 n
V V 12
V F 9
F F 5
F V ?

نلاحظ أنه لا يوجد عدد صحيح طبيعي n مناسب للسطر الأخير. إذن وجدنا 3 عبارات صحيحة في الرياضيات وهي :
العبارتين الأخيرتين فعلا صحيحتين عكس ما يتبين للذهن.

بصفة عامة:
لتكن P و Q عبارتين .
نقول إن P تستلزم Q عندما تتحقق إحدى الحالات : ونكتب PQ
PQ Q P
V V V
F F V
V V F
V F F

ملاحظة 1
لاحظ الجدول أسفله:
¬Q و P PQ ¬Q Q P
F V F V V
V F V F V
F V F V F
F V V F F
الاستلزام PQ خاطئ في حالة واحدة ، P صحيحة و Q خاظئة ، و هي الحالة الوحيدة التي تكون فيها العبارة ( ¬Q و P ) صحيحة.
من هنا نستنج أن PQ و ( ¬Q و P ) ¬ أي PQ و ( Q أو ¬P ) لهما نفس قيم الحقيقة.
ملاحظة 2
لاحظ الجدول أسفله:
¬Q¬P PQ ¬Q ¬P Q P
V V F F V V
F F V F F V
V V F V V F
V V V V F F
انطلاقا من هذا الجدول نلاحظ أن PQ و ¬Q¬P لهما نفس قيم الحقيقة .
الاستلزام ¬Q¬P يسمى الاستلزام المضادللعكس للاستلزام PQ
ملاحظة 3
للبرهان على صحة الاستلزام PQ : مثال :
ليكن n عددا صحيحا طبيعيا .
اثبت أن ( n زوجي) ( n 2 زوجي)
لنثبت صحة الاستلزام المضاد للعكس أي ( n 2 فردي) ( n فردي)
نفترض أن n عددا فرديا أي (k):n=2k+1 و نثبت أن n 2 عددا فرديا. لدينا :
= ( 2k+1 ) 2 n 2
=4 k 2 +4k+1
=2( 2 k 2 +2k )+1
=2K+1
مع K=2 k 2 +2k . بما أن k فإن K ، وهذا يعني أن n 2 عدد فرديا .
ملاحظة 4
ليكن PQ استلزاما صحيحا.

رجوع

التكافئ المنطقي
تعريف
العبارة ( PQ ) و ( QP ) تسمى تكافؤ العبارتين P و Q ونكتب PQ و نقرأ P تكافؤ Q .

( PQ ) و ( QP ) QP PQ Q P
V V V V V
F V F F V
F F V V F
V V V F F

PQ Q P
V V V
F F V
F V F
V F F

البرهان على تكافؤ
رجوع

البداية


الاستدلال
|الاستدلال بالخلف|الاستدلال بفصل الحالات|الاستدلال بالترجع|
الاستدلال بالخلف
نريد البرهان أن عبارة P صحيحة :
نفترض أن العبارة P خاطئة ونحاول التوصل الى تناقض مع معطيات التمرين. ثم نستنتج أن العبارة P صحيحة.
مثال
لنثبت أن 2 عدد لاجذري .
من أجل ذلك نستعمل الاستدلال بالخلف .
نفترض أن 2 عدد جذري أي يوجد عددان صحيحان طبيعيان a و b من * أوليان فيما بينهما حيث 2 = a b .
برفعنا هذه المتساوية الى الأس 2 نحصل على a 2 =2 b 2 ، إذن a 2 عدد زوجي .نعلم أن كل عدد صحيح طبيعي و مربعه لهما نفس الزوجية أي a عدد زوجي ، ومنه يوجد عدد صحيح طبيعي غير منعدم k حيث a=2k .بعد تعويض a بالقيمة 2k في المتساوية a 2 =2 b 2 نحصل على b 2 =2 k 2 ما يقودنا الى الاستنتاج التالي: b 2 زوجي و كذلك b عدد زوجي.
خلاصة :
بما أن a عدد زوجي و b عدد زوجي ، فإن العدد 2 أحد قواسم العددين a و b و هذا تناقض مع أنهما أوليان فيما بينهما.
رجوع

الاستدلال بفصل الحالات
سنبدأ ببعض الأمثلة .
رجوع

الاستدلال بالترجع
نريد البرهان عن خاصية P(n) حيث n عدد صحيح طبيعي.
رجوع

البداية


البداية