مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

المتتاليات


|تمرين 1| تمرين 2| تمرين 3| تمرين 4| تمرين 5| تمرين 6| تمرين 7| تمرين 8|

تمرين 1


  1. نعتبر المتتالية الحسابية ( u n ) حيث حدها الأول u 0 =1 و أساسها r=4
    • احسب u 3 , u 2 , u 1
    • اعط الحد العام u n ثم احسب u 19
  2. نعتبر المتتالية الهندسية ( v n ) حيث حدها الأول v 0 =2 و أساسها q=3
    • احسب v 3 , v 2 , v 1
    • اكتب v n بدلالة n ثم احسب v 10
    • احسب مجموع S= v 0 + v 1 +...+ v 9

البداية

عناصر الإجابة



تمرين 2


نعتبر المتتالية ( u n ) n حيث u n =2 3 n 2 +1 . ادرس رتابة المتتالية ( u n ) n

البداية

عناصر الإجابة



تمرين 3


نعتبر المتتالية الهندسية ( u n ) n حيث حدها الأول u 0 =8 و أساسها q= 1 2
  1. احسب الحدود u 20 , u 2 , u 1
  2. اثبت أن المجموع S= u 0 + u 1 +... u 20 يساوي 2 21 1 2 17

البداية

عناصر الإجابة



تمرين 4


نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة ب u 0 =1 و u n+1 = 2 u n 2+3 u n
  1. احسب الحدود u 2 , u 1
  2. هل المتتالية ( u n ) حسابية؟هندسية؟
  3. نقبل أنه لكل n من لدينا u n 0 . نضع v n =1+ 2 u n
    • احسب v 2 , v 1 , v 0
    • احسب v n+1 بدلالة v n . استنتج أن المتتالية ( v n ) حسابية .
    • عبر عن v n بدلالة n ، ثم استنتج u n بدلالة n

البداية

عناصر الإجابة



تمرين 5


نعتبر المتتاليتين ( u n ) و ( v n ) المعرفتين لكل n من يما يلي: u n = 3× 2 n 4n+3 2 و v n = 3× 2 n +4n3 2
  1. لتكن ( w n ) المتتالية المعرفة ب : w n = u n + v n . أثبت أن ( w n ) متتالية هندسية.
  2. لتكن ( t n ) المتتالية المعرفة ب : t n = u n v n . أثبت أن ( t n ) متتالية حسابية .
  3. عبر عن المجموع التالي بدلالة n S n = u 0 + u 1 +...+ u n

البداية

عناصر الإجابة


تمرين 6


نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة ب : u 0 =1 و u n+1 = u n +1 لكل n من .
  1. اثبت أن هذه المتتالية مصغورة بالعدد 1
  2. اثبت أن هذه المتتالية مكبورة بالعدد 2
  3. ماذا تستنتج؟
  4. نضع f:x x+1 . باستعمال رتابة الدالة f استنتج رتابة المتتالية ( u n )

البداية

عناصر الإجابة


تمرين 7


أثبت أن:
لكل n من لدينا : 1 3 + 2 3 + 3 3 +...+ n 3 = ( 1+2+3+...+n ) 2

البداية


تمرين 8


  1. نعتبر المتتالية ( v n ) المعرفة ب : { v 0 =1 v n+1 = v n +2( n+1 ) ( n )
    • احسب v 3 , v 2 , v 1 و v 4
    • أثبت أن : v n = n 2 +n+1 لكل n من
  2. تمعن في ما يلي :
    1 =1; 3+ 1 =2; 7+ 3+ 1 =3; 13+ 7+ 3+ 1 =4......
    نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة بما ب : { u 1 =1 u n+1 = v n + u n ( n )
    أثبت بالترجع أن u n =n لكل n من

البداية


عناصر الإجابة



التمرين 1
  1. ( u n ) متتالية حسابية أحد حدودها u p و أساسها r
    u n = u p +( np )r

    • u 1 = u 0 +4=5 u 2 = u 0 +8=9 u 3 = u 0 +12=13

    • u n = u 0 +nr=1+4n u 19 =1+76=77
    • ( v n ) متتالية هندسية احد حدودها v p و اساسها q
      v n = v p × q np

    • v 1 = v 0 ×q=2×3=6 v 2 = v 0 × q 2 =2× 3 2 =18 v 3 = v 0 × q 3 =2× 3 3 =54

    • v n = v 0 × q n =2× 3 n v 10 = v 0 × q 10 =2× 3 10
    • ( v n ) متتالية هندسية أساسها ( q1 )q .
      v p + v p+1 +...+ v n = v p × 1 q np+1 1q
      = v 0 + v 1 +...+ v 9 S
      = v 0 × 1 3 10 13
      =2× 1 3 10 2
      = 3 10 1

البداية

التمرين


التمرين 2
لكل n من :
=( 2 3 ( n+1 ) 2 +1 )( 2 3 n 2 +1 ) u n+1 u n
= 3 n 2 +1 3 ( n+1 ) 2 +1
لكل n من لدينا n+1n أي ( n+1 ) 2 n 2 و منه فإن 3 ( n+1 ) 2 +1 3 n 2 +1 إذن ( u n ) تزايدية قطعا.

البداية

التمرين


التمرين 3

  1. = u 0 ×q u 1
    =8× 1 2
    =4

    = u 0 × q 2 u 2
    =8× 1 4
    =2

    = u 0 × q 20 u 20
    =8× ( 1 2 ) 20
    = ( 1 2 ) 17

  2. = u 0 + u 1 +...+ u 20 S
    = u 0 ×( 1 q 21 1q )
    = 2 3 ×( 1 ( 1 2 ) 21 1 2 )
    = 2 4 ×( 2 21 1 2 21 )
    = 2 21 1 2 17

البداية

التمرين


التمرين 4

  1. = 2 u 0 2+3 u 0 u 1
    = 2×1 2+3×1
    = 2 5
    = 2 u 1 2+3 u 1 u 2
    = 2× 2 5 2+3× 2 5
    = 4 16
    = 1 4
  2. بما أن u 0 + u 2 2 u 1 و u 0 × u 2 ( u 1 ) 2 فإن المتتالية ( u n ) لا حسابية و لا هندسية.

    • =1+ 2 u 0 v 0
      =1+2
      =3
      =1+ 2 u 1 v 1
      =1+2× 5 2
      =1+5
      =6
      =1+ 2 u 2 v 2
      =1+2×4
      =9
    • لكل n من لدينا :
      =1+ 2 u n+1 v n+1
      =1+2 ( 2+3 u n ) 2 u n
      = 4 u n +2 u n
      =4+ 2 u n
      =3+( 1+ 2 u n )
      =3+ v n
      أي لكل n من لدينا v n+1 v n =3 إذن ( v n ) متتالية حسابية أساسها 3
    • حسب السؤال السابق لكل n من لدينا v n = v 0 +3n=3+3n و بما أن v n =1+ 2 u n فإن u n = 2 2+3n

البداية

التمرين


التمرين 5
  1. لكل n من لدينا :
    = u n + v n w n
    = 3× 2 n 4n+3 2 + 3× 2 n +4n3 2
    =3× 2 n
    وبما أن
    =3× 2 n+1 w n+1
    =2( 3× 2 n )
    =2 w n
    فإن ( w n ) متتالية هندسية أساسها 2
  2. لكل n من لدينا :
    = u n v n t n
    = 3× 2 n 4n+3 2 3× 2 n +4n3 2
    =34n
    و بما أن
    =[ 34( n+1 ) ][ 34n ] t n+1 t n
    =34n43+4n
    =4
    فإن ( t n ) متتالية حسابية أساسها 4
  3. لاحظ أن : لكل n من لدينا u n = w n + t n 2 و عليه فإن :
    = u 0 + u 1 +...+ u n S n
    = 1 2 [ ( w 0 + t 0 )+( w 1 + t 1 )+...+( w n + t n ) ]
    = 1 2 [ ( w 0 + w 1 +...+ w n )+( t 0 + t 1 +...+ t n ) ]
    = 1 2 [ w 0 ( 1 2 n+1 12 )+ ( t 0 + t n ) 2 ( n+1 ) ]
    = 1 2 [ 3( 1 2 n+1 )+( t 0 + t 0 4n 2 )( n+1 ) ]
    = 1 2 [ 3+3× 2 n+1 +( 32n )( n+1 ) ]
    =3× 2 n n 2 + n 2

البداية

التمرين


التمرين 6
  1. الاستدلال بالترجع
    من أجل n=0 لدينا u 0 =1 أي 1 u 0 . نفترض أن الخاصية صحيحة حتى الرتبة n و نثبت أن 1 u n+1 .
    بما أن 1 u n أي 2 u n +1 فإن 1 2 u n +1 أي 1 u n+1
  2. بنفس تقنية السؤال السابق نثبت أن ( u n ) مكبورة بالعدد 2

البداية

التمرين


التمرين 7

البداية

التمرين