مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

مبادئ في المنطق
Quelques Eléments de Logique Mathématique


|تقديم | تمرين 1| تمرين 2| تمرين 3| تمرين 4| تمرين 5| تمرين 6|

تقديم


إن الهدف من إدراج درس المنطق هو تزويد التلاميذ بالمبادئ الأولية والأساسية في المنطق الرياضي لتنظيم أفكارهم و ذلك من خلال أنشطة و أمثلة متنوعة و وضعيات رياضية بسيطة سبق للتلاميذ أن تعاملوا معها مع الحرص على تجنب العروض النظرية و الإفراط في استعمال جداول الحقيقة، كما أن المفاهيم الواردة فيه سوف يتم استثمارها طيلة السنة الدراسية في مختلف فصول البرنامج اللاحقة.

البداية


تصحيح تمارين من مرشدي في الرياضيات

تمرين 1


  1. هل العبارة " 1 3 " صحيحة أم خاطئة ؟ الجواب
  2. هل النص "( x ) x 2 +1 " عبارة أم دالة عبارية ؟ الجواب
  3. نفي العبارة "f دالة زوجية " هي العبارة :
    "f قردية " أم "f دالة غير زوجية"؟ الجواب
  4. نفي العبارة "n زوجي " هي العبارة :
    "n عدد أولي" أم "n عدد فردي"؟ الجواب
  5. إذا كانت إحدى العبارتين P و Q خاطئة فإن العبارة PQ تكون :
    صحيحة أم خاطئة ؟ الجواب
  6. إذا كانت العبارتان P و Q خاطئتين فإن العبارة PQ تكون :
    صحيحة أم خاطئة ؟ الجواب
  7. العبارة PQ ترميز للعبارة :
    a- ¬PQ
    أم
    b- ¬PQ الجواب
  8. إذا كانت العبارة P صحيحة و العبارة PQ صحيحة ، فإن Q تكون :
    صحيحة أم خاطئة؟ الجواب
  9. العبارة "x:P(x)" تعني :
    a- يوجد على الأقل x يحقق P(x)
    b- P(x) تتحقق مهما يكن x الجواب
  10. للبرهنة على صحة عبارة P نفترض ¬P .هذا الاستدلال يسمى :
    الاستدلال بالخلف أم الاستدلال بالتكافؤ الجواب

البداية

تمرين 2


A و B عبارتان .
بين أن العبارة : ( A¬A )B عبارة صحيحة .

البداية

الجواب

تمرين 3


لتكن A و B عبارتين متكافئتين و C عبارة ما .
بين أن العبارات التالية صحيحة :
  1. ¬A¬B
  2. ( AC )( BC )
  3. ( AC )( BC )
  4. ( AC )( BC )

البداية

الجواب

تمرين 4


لتكن P و Q و R ثلاث عبارات . أثبت صحة ما يلي:
  1. PQQP
  2. [ ( PQ )R ][ P( QR ) ]
  3. PPP
  4. PPQ
  5. P( ¬P )

البداية

الجواب

تمرين 5


لتكن P و Q و R ثلاث عبارات . أثبت صحة ما يلي:
  1. [ P( QR ) ][ ( PQ )( PR ) ]
  2. [ P( QR ) ][ ( PQ )( PR ) ]
  3. ¬( PQ )[ ( ¬P )( ¬Q ) ]
  4. ¬( PQ )[ ( ¬P )( ¬Q ) ]

البداية

الجواب

تمرين 6


حل في المعادلات التالية:
  1. | x3 |=2
  2. ( x1 )( x 2 5x+6 )=0
  3. | 3x1 || x+1 |=0

البداية

الجواب


عناصر الإجابة

تمرين 2
تذكير
إذا كانت العبارة P خاطئة فإن الاستلزام PQ يكون دائما صحيحا مهما كانت قيمة حقيقة العبارة Q

نعلم أن العبارتين A و ¬A لهما قيمتي حقيقة مختلفة أي العطف A¬A عبارة خاطئة وعليه فإن الاستلزام ( A¬A )B عبارة صحيحة.

البداية

التمرين

تمرين 3

  1. إذا كان للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن العبارة AB تكون دائما صحيحة.

    بما أن العبارة AB صحيحة فإن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة و بالمثل ¬A و ¬B لهما نفس قيمتي الحقيقة ، إذن العبارة ¬A¬B صحيحة.
  2. بما أن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن للاستلزامين AC و BC نفس قيمتي الحقيقة و بالتالي العبارة ( AC )( BC ) صحيحة.
  3. بما أن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن للعطفين AC و BC نقس قيمتي الحقيقة و بالتالي العبارة ( AC )( BC ) صحيحة
  4. بما أن للعبارتين A و B نفس قيمتي الحقيقة فإن للفصلين AC و BC نفس قيمتي الحقيقة و بالتالي العبارة ( AC )( BC ) صحيحة .

البداية

التمرين

تمرين 4
  1. العبارتين PQ و QP لهما نفس قيمتي الحقيقة إذن .....
  2. العبارتين ( PQ )R و P( QR ) لهما نفس قيمتي الحقيقة إذن ....
  3. العبارتين PP و P لهما نفس قيمتي الحقيقة إذن ....
  4. للبرهان عن صحة الاستلزام AB نفترض أن العبارة A صحيحة و نثبت أن العبارة B صحيحة.
    نعلم أنه إذا كانت العبارة P صحيحة فإن الفصل PQ صحيح و بالتالي الاستلزام PPQ عبارة صحيحة.
  5. بما أن للعبارتين P و ¬P قيمتي حقيقة مختلفة فإن العبارة P¬P صحيحة .

البداية

التمرين

تمرين 5
  1. نستعن بجدول الحقيقة:

البداية

التمرين

تمرين 6
  1. نستعمل الاستدلال بفصل الحالات :
    • حالة x3
      | x3 |=2 تكافئ x3=2 تكافئ x=5 بالفعل عدد مناسب أكبر من أو يساوي 3
    • حالة x3
      | x3 |=2 تكافئ x+3=2 تكافئ x=1 عدد مناسب.
    من الحالتين السابقتين نستنتج أن S={ 1;5 }

البداية

التمرين