مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

النهايات و الاتصال

تذكير

سوف نذكر ببعض المفاهيم .

fدالة عددية لمتغير حقيقي.

  1. كتابة

  2. الكتابة lim x x 0 f(x)=l تعود الى lim h0 f( x 0 +h)=l
  3. نهايات مثلثية هامة

  4. lim x0 sinx x =1   lim x0 tanx x =1   lim x0 1cosx x 2 = 1 2
  5. الاتصال

  6. التمديدبالاتصال

  7. fدالةغير معرفة في a
    اذا كانت lim xa f(x) منتهية فانfقابلة للتمديد بالاتصال فيaوتمديدها هو الدالةgالمعرفة بما يلي: { g(x)=f(x);(xa) g(a)= lim xa f(x)
  8. النهايات و الترتيب
      aعدد حقيقي او ( l ),+,,
    1. fوgدالتان معرفتان على مجالIمن IR.
      اذا كان لكلxمنIلدينا ( f(x)g(x) )f(x)g(x) و ( lim xa g(x)= ) lim xa g(x)=+ فان ( lim xa f(x)= ) lim xa f(x)=+
    2. fوuوvثلاث دوال معرفة على مجالI
      اذا كان لكلxمنIلدينا u(x)f(x)v(x) و lim xa u(x)= lim xa v(x)=l فان lim xa f(x)=l
    3. تمرين تطبيقي نعتبر الدالة f:x 4 x 2 +1 x
      1. اثبت ان 4 x 2 +1 2x لكلxمن + ثم استنتج ان f(x)x لكلxمن +
      2. استنتج lim x+ f(x)

ما رأيك الان في بعض التمارين لترسيخ هذه المعلومات

    للتذكير
  1. احسب lim x0 sinx tanx x 3
  2. ارشاد 0 :sinx tanx x 3 = sinx | x | tanx x

  3. احسب lim x1 1+ x 2 2 x1
  4. ارشاد: استعمل المرافق

  5. نعتبر الدالةfالمعرفة بما يلي { f(x)= x+1 x 3 1 ( x] , 1 2 ] ) f(x)= 1 2 x+b( x 1 2 )( b )
    حدد قيمةbكي تكونfمتصلة في 1 2
  6. ارشاد:حل المعادلة lim x 1 2 + f(x)=f( 1 2 )

  7. اعط تمديدا بالاتصال في 1 للدالة f:x 2 x 5 5x+3 x1
    اعط تمديدا بالاتصال في π 2 للدالة f:x 1sinx ( π 2 x ) 2
  8. ارشاد: *2 x 5 5x+3=(x1)(2 x 4 +2 x 3 +2 x 2 +2x3) * lim x π 2 f(x)= lim h0 f( π 2 +h )

البداية


نهاية مركبة دالة تقبل نهاية و دالة متصلة

fدالة معرفة على مجال مفتوح منقطIمركزهaوgدالة معرفة على مجالJبحيث f( I )J
اذا كانت الدالةfتقبل النهاية l فيaو كانت الدالةgمتصلة في l فان lim xa gοf(x)=g(l)
ملاحظة:ما سبق ذكره يظل صالحا بجوار a + , a ,,+ مع تعويضIبمجال مناسب.

مثال:احسب lim x1 tan( x 2 1)

جواب: بما ان lim x1 x 2 1=0 و الدالة xtanx متصلة في 0 فان lim x1 tan( x 2 1 )=tan(0)=0

البداية


صورة مجال بدالةمتصلة

صورة مجال من IR بدالة متصلة هو مجال من IR

البداية


اتصال مركبة دالتين

    f دالة معرفة على مجالIوgدالة معرفة على مجالJبحيث f( I )J
  1. ليكنaعنصرا منI.
    اذ كانتfمتصلة فيaو كانتgمتصلة في f( a ) فان gοf تكون متصلة فيa
  2. اذا كانتfمتصلة علىIوgمتصلة علىJفان gοf تكون متصلة علىI
تمرين تطبيقي:
نعتبر الدالة h:x x 2 +2x+2 | x+1 | 3 +1
  1. حدد حيز تعريف الدالةh
  2. نعتبر الدالتين f:x| x+1 | و g:x x 2 +1 x 3 +1
    1. حدد حيز تعريف كل من الدلتينfوg
    2. تأكد ان h(x)=( gοf )(x) لكلxمن IR
  3. انشئ منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم ( O, i , j )
  4. تأكد مبيانيا ان f()] 1,+ [
  5. ادرس اتصال الدالةh

ارشاد: لا تنتظر ذلك فالجواب داخل الاسئلة

البداية


مبرهنة القيم الوسيطية

  1. اذا كانتfدالة متصلة على مجال [ a,b ] من IR وKعدد حقيقي محصور بين f(a),f(b) فانه يوجدعلى الاقل عدد حقيقي c من [ a,b ] حيث f(c)=k
    1. نتائج
    2. اذا كانتfدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال [ a,b ] من IR فانه لكل عدد حقيقي محصور بين f(a),f(b) المعادلة f(x)=k تقبل حلا وحيدا في المجال [ a,b ]
    3. اذا كانتfدالة متصلة على المجال [ a,b ] و f(a)×f(b)0 فان المعادلة f(x)=0 تقبل حلا على الاقل في [ a,b ]
    1. تمرين تطبيقي
      fدالة معرفة على المجال I=[ 3,6 ] ب f(x)= x 3 12x
    2. احسب f ' (x) لكلxمنIثم ضع جدول تغيرات الدالةf
    3. لماذا المعادلة f(x)=30 لها حلول في المجالI
    4. كم لهذه العادلة من حل فيI

البداية


الدالة العكسية لدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال

    اذا كانتfدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجالIمن IR فانها تكون تقابلا منIنحو المجال f(I) و تقبل دالة عكسية f 1 معرفة من f(I) نحوIو :
  1. f 1 تكون متصلة على f(I)
  2. f 1 لها نفس منحى تغيراتf
  3. C f , C f 1 متماثلان بالنسبة للمنصف الاول
    1. ( xI ):( f 1 οf )(x)=x
    2. ( xf(I) ):( fο f 1 )(x)=x
    3. xI yf(I) f(x)=yx= f 1 (y)
  4. تمرين تطبيقي
      نعتبر الدالة المعرفة على المجال I=] 1,1 [ بما يلي : f(x)= 2x 1 x 2
    1. بين انfتقابل منIنحو IR
    2. حدد التقابل العكسي f 1
    3. انشئ المنحنيين C f 1 , C f في نفس المعلم
    ارشاد:

البداية


تطبيقات

دالة الجذر من الرتبة n


ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم
الدالة x x n تقابل من + نحو + وتقبل دالة عكسية f 1 من + نحو + بحيث x + f 1 (x)= x n

نتائج
    (x,y) +2 (p,n) *2
  1. الدالة x x n متصلة و تزايدية قطعا على +
  2. x n n = ( x n ) n =x
  3. x n = y n x=y x n y n xy
  4. ( x n ) p = x p n
  5. x p np = x n
  6. x p n = x np
  7. x n × y n = x×y n
  8. ( y0 ) x n y n = x y n
  9. lim x+ x n =+

النهاية و الاتصال
  1. اذا كانتfدالة متصلة وموجبة على مجالIمن IR فان الدالة x f(x) n متصلة على المجالI
  2. اذا كان ( l0 ) lim x x 0 f(x)=l فان lim x x 0 f(x) n = l n
  3. اذا كان lim x x 0 f(x)=+ فان lim x x 0 f(x) n =+
القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا
ليكنaعددا حقيقيا موجبا قطعا و ( p,q ) * × * لدينا a p q = a p q
( a +* ) a 0 =1 تمرين تطبيقي
  1. احسب lim x1 x+7 3 2 x1
  2. احسب lim x+ x 3 +x+1 3 x

دالة قوس الظل

الدالة xtanx متصلة و تزايدية قطعا على المجال ] π 2 , π 2 [ اي تقابل من ] π 2 , π 2 [ نحو IR لان ( lim x π 2 + tanx=; lim x π 2 tanx=+ ) وبالتالي فانها تقبل دالة عكسية f 1 معرفة من IR نحو ] π 2 , π 2 [ بحيث ( x ) f 1 (x)=Arctanx
نتائج
  1. الدالة xArtanx متصلة و تزايدية قطعا على IR
  2. ( x ):tan( Arctan(x) )=x
  3. ( x] π 2 , π 2 [ ):Arctan( tan(x) )=x
  4. ( x,y ) 2 Arctanx=Arctanyx=y ( x,y ) 2 ArctanxArctanyxy
  5. lim x+ Arctanx= π 2 lim x Arctanx= π 2
  6. lim x0 Arctanx x =1
  7. ( x ):Arctan(x)=Arctanx
ـمرين تطبيقي
    نعتبر الدالة xArctan 3 x+1 x2
  1. حدد مجموعة تعريف الدالةf
  2. حدد lim x+ f(x); lim x 2 + f(x)

البداية