مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الاشتقاق

تذكير
    f دالة عددية معرفة على مجال I من IR و
    g دالة عددية معرفة على مجال J من IR


  1. f(I)J
    اذا كانتf قابلة للاشتقاق على I وg
    قابلة للاشتقاق على J فان gοf قابلة للاشتقاق على I


  2. I=J
    اذا كانتf قابلة للاشتقاق على I و
    g قابلة للاشتقاق و لا تنعدم على I
    فان f g قابلة للاشتقاق على I


  3. اذا كانتf قابلة للاشتقاق و موجبة قطعا على I
    فان الدوال f ; f 3 قابلة للاشتقاق على I


  4. اذا كانتf قابلة للاشتقاق على I
    فان الدالة arctan( f ) قابلة للاشتقاق على I

تمرين1
    ادرس قابلية اشتقاق الدالةf في كل حالة من الحالات التالية
    و احسب f ' (x) لكل x من مجموعة قابلية اشتقاقها
  1. f:x cos 2 (2 x 2 1)
  2. f:x sin 2 (cos(2x1))
  3. f:x x 2 2x (x+1) 2
  4. f:x sinx 2cosx1
  5. f:xcos( x 3 6x)
  6. f:xx x 2 4
  7. f:x (2x+1) 2 3
  8. f:x ( 2x+1 3 ) 2
  9. ادرس قابلية اشتقاق الدالةf في 0 : f:x{ arctanx;x0 tanx;x0
الجواب

تمرين2
    لتكنf الدالة العددية المعرفة بما يلي f(x)= x 19
  1. أحسب العدد المشتق للدالةf في 1
  2. استنتج قيمة مقربة للاعداد f(1,001);f(0,999)
الجواب

تمرين3
    نفس اسئلة التمرين الاول
  1. f:x ( 2 x 2 1 ) 3
  2. f:x 2 ( x 3 1 ) 2
  3. f:x x 2 +2x+2
  4. f:x= x 2 +4x+6 x 2 +2x+3
  5. f:x x+1 x 2 +2
الجواب

تمرين4

حدد مشتقات الدوال التالية بعد تحديد مجالات تعريفها
x x 4 3 + ( x 2 ) 1 3 x x 2 3 x ( x 3 x ) 2 3 x ( cos(2x) ) 3 4 x x 4 3 + x 3 4 xArctan( x 2 1 x 2 ) xActan 1cosx 1+cosx ;( I=] π;π [ )

الجواب

جواب التمرين1
  1. الدالة f 1 :x2 x 2 1 قابلة للاشتقاق على . دالة حدودية. ( f 1 ( ) [ 1;+ [ )

    الدالة f 2 :x cos 2 (x) قابلة للاشتقاق على . جداء دالتين قابلتين للاشتقاق على
    اذن f 2 قابلة للاشتقاق على [ 1;+ [
    خلاصة
    الدالة f:x( f 2 ο f 1 )(x) قابلة للاشتقاق على
    ( x ) f ' (x)= ( f 2 ο f 1 ) ' (x) f ' (x)= f 2 ' ( f 1 (x) )× f 1 ' (x)
    اي
    f ' (x)=8xcos(2 x 2 1)sin(2 x 2 1)


  2. المرجع : التمرين الاول


  3. الدالة f 1 :x x 2 2x قابلة للاشتقاق على . دالة حدودية .
    الدالة f 2 :x ( x+1 ) 2 قابلة للاشتقاق و لا تنعدم على { 1 }
    اذن الدالة f:x f 1 (x) f 2 (x) قابلة للاشتقاق على { 1 }
    x{ 1 } f ' (x)= f 1 ' (x) f 2 (x) f 1 (x) f 2 ' (x) ( f 2 (x) ) 2 f ' (x)= (2x2)(x+1)2( x 2 2x) ( x+1 ) 3
    اتمم


  4. نفس تحليل التمرين الثاني
    نثبت انf قابلة للاشتقاق على محرومة من الاعداد التي تكتب على الشكل π 3 +2kπ; π 3 +2kπ(π)


  5. المرجع : التمرين الاول


  6. الدالة f 1 :x x 2 4 قابلة للاشتقاق و موجبة قطعا على I=] ;2 [] 2;+ [
    اذن الدالة f 2 :x x 2 4 قابلة للاشتقاق على I
    خلاصة
    الدالة f:xx x 2 4 قابلة للاشتقاق على I. جداء دالتين قابلتين للاشتقاق على I
    xI f ' (x)= x 2 4 + 2x 2 x 2 4 x f ' (x)= x 2 4 + x 2 x 2 4
    اتمم...


  7. الدالة x ( 2x+1 ) 2 موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على I=\{ 1 2 }
    اذن الدالة x ( 2x+1 ) 2 3 قايلة للاشتقاق على I
    xI;f(x)= ( ( 2x+1 ) 2 ) 1 3 xI f ' (x)= 1 3 [ ( 2x+1 ) 2 ] 2 3 ×2×(2x+1)×2 f ' (x)= 4(2x+1) 3 (2x+1) 4 3


  8. الدالة x2x+1 موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على I=] 1 2 ;+ [
    اذن الدالة x 2x+1 3 قابلة للاشتقاق على I . و كذاك الدالة x ( 2x+1 3 ) 2
    xI;f(x)= ( 2x+1 ) 2 3 xI; f ' (x)= 4 3 2x+1 3



  9. lim x 0 f(x)f(0) x0 = lim x 0 Arctanx x اتمم....
    lim x 0 + f(x)f(0) x0 = lim x 0 + tanx x اتمم ....
التمرين

جواب التمرين 2
تذكير اذا كانتf دالة قابلة للاشتقاق في نقطة a . فان الدالة x f ' (a)(xa)+f(a)
تسمى الدالة التالفية المماسة للدالةf عند النقطة a
  1. الدالة x x 19 قابلة للاشتقاق على
    x: f ' (x)=19 x 18 f ' (1)=19
  2. الدالة التالفية المماسة للدالةf عند 1 هي :
    x19x18 اتمم .....
التمرين

جواب التمرين 3
    المرجع : التمرين الاول
التمرين

جواب التمرين4
    المرجع : التمرين الاول
التمرين