المادة

الرياضيات

المستوى

الثانية علوم تجريبية



********دراسة وتمثيل دالة عددية ********* دراسة وتمثيل دالة عددية ********* دراسة وتمثيل دالة عددية**********

f دالة معرفة كما يلي:

f(x)=| x2 |+ 1 x+1

(C) هو منحنى fفي معلم متعامد ممنظم .(o, i , j )
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f . جواب
x+10 xD
x1
اذن : D={ 1 }=] ,1 [] 1,+ [

2) أحسب نهايات f عند محدات D . جواب
  • lim x 1 x+1 = lim x 1 x =0
  • lim x | x2 |= lim x x+2= lim x x=+
  • اذن: lim x f(x)=+

  • lim x+ | x2 |= lim x+ x2= lim x+ x=+
  • اذن: lim x+ f(x)=+

بما أن lim x1 x<1 | x2 |=| 3 |=3 و lim x1 x<1 x+1= 0 فان: lim x1 x<1 f(x)=
بما أن: lim x1 x>1 x+1= 0 + فان: lim x1 x>1 f(x)=+

3)
أ) أدرس اشتقاق f في 2 على اليمين . جواب
= lim x2 x>2 x2+ 1 x+1 1 3 x2 lim x2 x>2 f(x)f(2) x2
= lim x2 x>2 x+ 1 x+1 7 3 x2
= lim x2 x>2 3 x 2 4x4 3(x+1)(x2)
= lim x2 x>2 (x2)(3x+2) 3(x2)(x+1)
= lim x2 x>2 (3x+2) 3(x+1)
= 8 9
اذن f قابلة للإشتقاق في 2 على اليمين و f d '(2)= 8 9

ب) أدرس اشتقاق f في 2 على اليسار . جواب
= lim x2 x<2 2x+ 1 x+1 1 3 x2 lim x2 x<2 f(x)f(2) x2
= lim x2 x<2 5 3 x+ 1 x+1 x2
= lim x2 x<2 3 x 2 +2x+8 3(x+1)(x2)
= lim x2 x<2 3(x2)(x+ 4 3 ) 3(x+1)(x2)
= lim x2 x<2 (x+ 4 3 ) x+1
= 10 9
اذن f قابلة للإشتقاق فى 2 على اليسار و لذينا: f ' g (2)= 10 9

ج) هل f قابلة للإشتقاق في 2 .(علل الجواب) . جواب
بما أن: f ' d (2)f ' g (2) فان f غير قابلة للإشتقاق فى 2 .

د)أول مبيانيا نتيجتي السؤالين (أ)و(ب) . جواب
  • (C) يقبل نصف مماس عند 2على اليمين معامله الموجه هو:9/8
  • (C) يقبل نصف مماس عند 2 على اليسار معامله الموجه هو:9/10-

4)
أ) أدرس تغيرات f على: ] ,1 [] 1,2 ] . جواب
x] ,1 [] 1,2 [:f(x)=x+2+ 1 x+1
x] ,1 [] 1,2 [:f'(x)=1 1 (x+1) 2 0

ب) أدرس تغيرات f على [ 2,+ [ . جواب
x] 2,+ [:f(x)=x2+ 1 x+1
x] 2,+ [:f'(x)=1 1 (x+1) 2 >0

5) أدرس الفروع اللانهائية للمنحنى (C) . جواب
  • lim x1 f(x)= المستقيم الذي معادلته x=-1 مقارب ل(C).
  • بماأن: lim x f(x)(x+2)=0 فان المشتقيم الذي معادلته y=-x+2 مقاربل ل(C) بجوار
  • بما أن lim x+ f(x)(x2)=0 فان المستقيم الذي معادلته y=x-2 مقارب ل (C) بجوار + .

6) أنشئ المنحنى (C) . جواب

7)
أ)بين أن f تقابل من I= [ 2;+ [ نحو مجال J يجب تحديده . جواب
  • f متصلة على I= [ 2;+ [ لأنها مجموع دالة حدودية و دالة جدرية متصلتين على I
  • f تزايدية قطعا على I .
اذن f تقابل من I نحو المجال J حيث : J=f(I)=f( [ 2;+ [ )= [ 1 3 ;+ [

ب) أحسب f 1 (x) لكل x من J . جواب
f(y)=x f 1 (x)=y
y2+ 1 y+1 =x
y 2 +y2y2+1=xy+x
y 2 (x+1)y(x+1)=0
Δ= (x+1) 2 +4(x+1)=(x+1)(x+5)>0
y 1 = x+1+ (x+1)(x+5) 2
y 2 = x+1 (x+1)(x+5) 2 ; y 2 (1)=1 3 I
اذن: xJ: f 1 (x)= x+1+ (x+1)(x+5) 2








ذ عبدالرحيم الأصب

abou_othmane@yahoo.fr