مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

رقم التمرين 1|2| 3|4| 5|6| 7|8| 9|10| 11|12| 13|14| 15| 16|

الاعداد العقدية


تمرين1

اعط الشكل الجبري للعدد العقدي z في الحالات التالية: z = 1 i 2 i ; z = ( 1 + i ) ( 1 2 i ) ; z = 3 4 i 7 + 5 i

الجواب
البداية

تمرين2

    نضع Z = z 2 i z + 3 ( z 3 )
  1. اعط الشكل الجبري في الحالة التالي: z = x + i y
    1. لتكن M ( z )
    2. حدد مجموعة النقطM حيث Z عدد حقيقي.
    3. حدد مجموعة النقطM حيث Z عدد تخيلي صرف.

الجواب
البداية

تمرين3

حدد مجموعة صور الاعداد العقدية z حيث Z عدد حقيقي:
Z = ( z 1 ) ( z ¯ i )

الجواب
البداية

تمرين4

المستوى منسوب الى م. م . م ( o , u , v )
نضع : z = x + y i , A ( i ) , B ( i z ) , M ( z )
حدد مجموعة النقطM حيث Aو B وM نقط مستقيمية .

الجواب
البداية

تمرين5

المستوى منسوب الى معلم متعامد ممنظم ( O, u , v )
نضع A(1);B(1+2i);C(12i) اثبت ان المثلث ABC متساوي الساقين
الجواب
البداية

تمرين6

ما هي مجموعة النقط z=x+iy M(z) في الحالات التالية :
| z4 |=| z+2i | | z+1+i |=| z3 | | z5+3i |=3 | z1 |=2 | z +2i |=5
الجواب
البداية

تمرين7

    نعتير الاعداد العقدية Z= z 1 z 2 ; z 2 =1i; z 1 = 6 2 i 2
  1. اكتب z 2 ; z 1 على الشكل المثلثي
  2. اكتب Z على الشكل الجبري
  3. استنتج قيمة sin π 12 ;cos π 12
الجواب
البداية

تمرين8

    نضع B=5( 1+ 3 i );A=5 2 ( 1+i )
  1. حدد معيار و عمدة للاعداد 1 A ; A ¯ ;B;A
  2. ليكن z العدد العقدي الذي يحقق Az=B . اكتب z على
    شكله الجبري ثم على شكله المثلثي
  3. استنتج قيمة sin 13π 12 ;cos 13π 12
الجواب
البداية

تمرين 9

    في المستوى العقدي منسوب الىمعلم متعامد ممنظم ( O, u , v ) نعتبر النقط Ω,A,B صور الأعداد العقدية التالية على التوالي : ω=5+5i;a=12+6i;b=10i
  1. أنشئ النقط Ω,A,B
    • احسب : | ω |,| aω |,| bω |
    • استنتج أن النقط O,A,B تنتمي الى دائرة ( C ) محددا مركزها و شعاعها.
  2. حدد معادلة للدائرة ( C ) و بين أنه يمكن كتابتها على الشكل x 2 + y 2 10x10y=0
  3. لتكن A ' صورة العدد العقدي a ' =ia . احسب احداثيات المتجهتين BA و B A ' .ماذا تستنتج؟
    • لتكنM نقطة من المستو ذات اللحق z=x+iy و M ' نققطة ذات اللحق z ' =iz
    • احسب احداثيات المتجهتين BM و B M ' بدلالة x و y
    • نفترض هنا أن B,M, M ' نقط مستقيمية.الى أي مجموعة تنتمي النقطةM ؟
الجواب
البداية

تمرين 10

نعتبر في الحدودية P(z)= z 3 4( 1+i ) z 2 2( 14i )z+12
    • بين أن P(z) تقبل جذرا حقيقيا z 0
    • بين أن z;P(z)=( z z 0 )( z 2 2( 1+2i )z6 )
  1. نعتبر في المعادلة : ( E ): z 2 2( 1+2i )z6=0 . ولتكن z 1 و z 2 حلي المعادلة ( E ) بحيث | z 1 || z 2 |
    • اكتب z 1 و z 2 على الشكل المثلثي.
    • بين أن ( z 1 z 2 ) 4
  2. نعتبر في المستوى العقدي النقط C( 3( 1+i ) );B( 1+i );A( 2 ) . بين أن المثلث ABC قائم الزاوية و متساوي الساقين في A
الجواب
البداية

تمرين 11

  1. حل في المعادلة : ( E ): z 2 ( 3 +i 3 )z+2i=0
  2. نعتبر الأعداد العقدية z 0 و z 1 و z 2 حيث z 2 = 3 1 2 + 3 +1 2 i; z 1 = 3 +1 2 + 3 1 2 i; z 0 =1i
    • بين أن z 2 z 0 = 1 2 + 3 2 i
    • استنتج الشكل المثلثي ل z 2
    • تحقق أن : z 2 = z 1 z 0
    • نعتبر في المستوى العقدي النقط C( z 2 );B( z 1 );A( z 0 ) . بين أن المثلث ABC متساوي الساقين في B ثم حدد قياسا للزاوية الموجهة ( BC , BA )
الجواب
البداية

تمرين 12

نعتبر في الحدودية : P( z )= z 4 2 z 3 +2 z 2 2 z+1
  1. بين أنه إذا كان α جذر للحدودية P( z ) فإن 1 α و α ¯ جذران كذلك للحدودية P( z )
  2. بين أن الحدودية P( z ) تقبل جذرين تخيليين صرفين يجب تحديدهما.
  3. حدد العددين العقديين a و b حيث z;P( z )=( z 2 +1 )( z 2 +az+b )
  4. حل في المعادلة ( E ):P( z )=0
    • بين أن حلول المعادلة ( E ) هي جذور ثامنة للوحدة
    • أوجد الجذور الثامنة الأخرى.
    • نضع z 1 = 1 2 +i 3 2 احسب z 1 8
    • ليكن u جذر ثامن للوحدة. بين أن u z 1 جذر ثامن للعدد العقدي : z 0 = 1 2 + 3 2 i
    • استنتج الجذور الثامنة للعدد z 0
الجواب
البداية

تمرين 13

نعتبر التطبيق g من { 1;1 } إلى المعرف بما يلي : g(z)= z 1 z 2
  1. تحقق من أن z{ 1;1 };g(z)= z( 1 ( z ¯ ) 2 ) | 1 z 2 | 2 حيث z ¯ هو مرافق z
  2. نضع z=x+iy و z( 1 ( z ¯ ) 2 )=X+iY حيث x و y و X و Y اعداد حقيقية. بين أن { X=x x 3 x y 2 Y=y+ y 3 + x 2 y
  3. المستوى ( P ) منسوب إلى معلم متعامد ممنظم ( O, e 1 , e 2 ) ، لتكن ( C ) مجموعة النقط M بحيث لحقها z يحقق g(z) عدد تخيلي صرف. حدد طبيعة المجموعة ( C ) ثم انشئها .
  4. نضع z=cosθ+isinθ حيث θ] 0,π [
    • بين أن g(z)= i 2sinθ
    • بين أن z×g(z)= 1 2sinθ [ cos( θ+ π 2 )+isin( θ+ π 2 ) ]
    • نضع z 0 = 3 2 + 1 2 i . اكتب على الشكل المثلثي : [ z 0 ×g( z 0 ) ] 6
الجواب
البداية

تمرين 14

نعتبر في الحدودية : P(z)= z 3 +( 3 1+7i ) z 2 ( 12+ 3 +174 3 i )z+4( 3 3 i )
    • احسب P(1)
    • حدد العددين العقديين a و b حيث : z;P(z)=( z1 )( z 2 az+b )
  1. نضع Q(z)= z 2 +( 3 +7i )z4( 3 3 i ) . نرمز ب z 1 و z 2 لحلي المعادلة ( E ):Q(z)=0 حيث : Re( z 1 )Re( z 2 ) .
    اكتب z 1 و z 2 على الشكل المثلثي.
  2. نعتبر في المستوى العقدي المنسوب الى المعلم ( O, e 1 , e 2 ) النقط : C( z 2 ),B( z 1 ),A( 2i ) .
    • مثل النقط A و B و C .
    • تحقق أن 2( z 1 +2i )=( 1 3 i )( z 2 +2i )
    • استنتج أن المثلث ABC متساوي الأضلاع.
  3. لتكن النقطتين M و N لحقاهما على التوالي z 1 6 و z 2 6 .احسب ( z 2 z 1 ) 6 ثم استنتج أن O و M و N مستقيمية.
الجواب
البداية

تمرين 15

    • حل في المعادلة : ( E ): z 2 +( 1+i )z+2i=0
    • نعتبر الحدودية : P(z)= z 3 +22i . احسب P(1+i) ثم حل في المعادلة P(z)=0
    • اعط على الشكل المثلثي الجذور المكعبة للعدد العقدي : 2+2i
    • استنتج مما سبق : cos π 12 و sin π 12
    • بين أنه توجد ثلاث متتالية هندسية ( u n ) n للأعدادالعقديةبحيث u 3 =i و u 6 =2+2i ( احسب لكل من المتتاليات الثلاث الأساس q و الحد الأول u 0 )
    • لتكن المتتالية العقدية ( z n ) n المعرفة بما يلي : { z 0 = 1 4 ( 1+i ) z n+1 =( 1+i ) z n
      • احسب z n بدلالة n
      • اكتب z n على الشكل المثلثي .
      • حدد قيم n لكي يكون z n عددا حقيقيا.
الجواب
البداية

تمرين 16

  1. ليكن θ عددا حقيقيا بحيث ( k;θkπ ) . اكتب 1+cosθ+isinθ 1cosθisinθ على الشكل المثلثي.
  2. احسب الجذور الخامسة للعدد 32i
  3. استنتج من ذلك حلول المعادلة ( z ); ( z1 ) 5 ( iz+i ) 5 =0
الجواب
البداية

عناصر الإجابة



جواب 1


  1. 34i 7+5i = (34i)(75i) (7+5i)(75i) = 2115i28i20 7 2 +25 = 143i 49+25 = 1 74 43 74 i
  2. (1+i)(12i)=12i+i2 i 2 =1i+2 =3i
  3. 1i 2i = (1i)i (2i)i = i i 2 2 i 2 = i+1 2 = 1 2 + 1 2 i
  4. التمرين
    البداية

جواب 2


    z عدد حقيقي Im(z)=0z
    z عدد تخيلي صرف Re(z)=0zi
  1. لكل z تخالف 3
    (1):Z= z2i z+3 (1)Z= (x+yi)2i (x+yi)+3 Z= x+(y2)i (x+3)+yi Z= [ x+(y2)i ][ (x+3)yi ] (x+3) 2 + y 2 Z= x(x+3)xyi+(y2)(x+3)i+(y2)y (x+3) 2 + y 2 Z= [ x(x+3)+(y2)y ] (x+3) 2 + y 2 + [ xy+(y2)(x+3) ] (x+3) 2 + y 2 iZ= x 2+ y 2 +3x2y (x+3) 2 + y 2 + 2x+3y6 (x+3) 2 + y 2 i
    1. لكل (x;y)(3;0)
      Im(Z)=0 2x+3y6 (x+3) 2 + y 2 =02x+3y6=0
      مجموعة النقط هي المستقيم ذو المعادلة 2x+3y6=0 محروم من النقطة ذات الاحداثيات (3;1)
    2. لكل (x;y)(3;0)
      Re(Z)=0 x 2 + y 2 +3x2y (x+3) 2 + y 2 =0 x 2 + y 2 +3x2y=0
      مجموعة النقط هي الدائرة ( C ): x 2 + y 2 +3x2y=0 محرومة من النقطة ذات الاحداثيات ( 3;0 )
  2. التمرين
    البداية

جواب 3

    نفس التحليل بالنسبة للتمرين رقم 2
    التمرين
    البداية

جواب 4


Aو B و C صور الاعداد العقدية z C ; z B ; z A على التوالي
Aو B و C نقط مستقيمية تعني z B z A z C z A
    H= zi izi H= (x+iy)i i(x+iy)i H= x+(y1)i y+(x1)i H= (x+(y1)i)(y(x1)i) y 2 + (x1) 2 H= yx+1 y 2 + (x1) 2 + ( x 2 y 2 +x+y) y 2 + (x1) 2 i
    AوM و B نقط مستقيمية تعني H اي لكل (x;y)(1;0) x 2 y 2 +x+y=0 x 2 + y 2 xy=0
    مجموعة النقط هي الدائرة (C): x 2 + y 2 xy=0 محرومة من النقطة ذات الاحذاثيات (1;0)
    التمرين
    البداية

جواب 5


A( z A );B( z B ) AB=| z B z A |
    AB=| (1+2i)1 |AB=| 2+2i |AB= (2) 2 + (2) 2 =2 2 AC=| (12i)1 |AC=| 22i |AC= (2) 2 + (2) 2 =2 2
    بما ان AB=AC فان ABC مثلث متساوي الساقين
    التمرين
    البداية

جواب 6


    | z4 |=| z+2i |
    نضع A(4);B(-2i) ادن | z4 |=| z+2i |AM=BM ايM متساوية المسافة عن طرفي القطعة [ AB ]
    مجموعة النقط هي واسط القطعة [ AB ]
    | z5+3i |=3
    | z5+3i |=3| x+iy5+3i |=3| (x5)+(y+3)i |=3 (x5) 2 + (y+3) 2 =3 x 2 + y 2 10x+6y+25=0
    مجموعة النقط هي الدائرة التي مركزها A(5;3) و شعاعها 3
    التمرين
    البداية

جواب التمرين 7


المستوى منسوب الى م.م.م ( O; e 1 ; e 2 ) وM صورة العدد العقدي z .
كل قياس للزاوية الموجهة ( e 1 ; OM ) يسمى عمدة للعدد العقدي z . و نرمز له ب arg(z)
كل عدد عقدي z غير منعدم يكتب على الشكل z=| z |( cosθ+isinθ )=[ | z |,θ ]
مع θarg(z)[ 2π ] يسمى الشكل المثلثي للعدد z
( z 2 0 )arg( z 1 z 2 )arg( z 1 )arg( z 2 )[ 2π ]
| z 1 z 2 |= | z 1 | | z 2 |
  1. | z 1 |= 6 4 + 1 4 = 8 4 = 2
    نضع arg( z 1 ) θ 1 [ 2π ] اذن { cos θ 1 = 3 2 sin θ 1 = 1 2 θ 1 π 6 [ 2π ] اي z 1 =[ 2 , π 6 ]
    بالنسبة للعدد العقدي الاخر لدينا z 2 = 2 ( 2 2 2 2 i )= 2 ( cos( π 4 )+isin( π 4 ) )=[ 2 ; π 4 ]
  2. Z= z 1 z 2 = 6 2 i 2(1i) = ( 6 2 i )( 1+i ) 2( 1 2 + 1 2 ) = ( 6 + 2 ) 4 + ( 6 2 )i 4
  3. Z= z 1 z 2 Z= [ 2 , π 6 ] [ 2 ; π 4 ] =[ 2 2 ;( π 6 )( π 4 ) ]Z=[ 1; π 12 ] Z=cos π 12 +isin π 12 اتمم...
  4. التمرين
    البداية

جواب التمرين8


( A0 )arg( 1 A )arg( A )[ 2π ];arg( A ¯ )arg( A )[ 2π ] arg( A×B )arg( A )+arg(B)[ 2π ]
( A0 )| 1 A |= 1 | A | ;| A ¯ |=| A |;| A×B |=| A |×| B |
  1. A=5 2 ( 1+i ) A=10( 2 2 + 2 2 i ) A=10( cos( π 4 )+isin( π 4 ) )=[ 10; π 4 ]
    B=5( 1+ 3 i ) B=10( 1 2 + 3 2 i ) B=10( cos( 2π 3 )+isin( 2π 3 ) )=[ 10; 2π 3 ]
    A ¯ =[ 10; π 4 ]; 1 A =[ 1 10 ; π 4 ]
  2. z= B A z= 5(1+ 3 i) 5 2 (1+i) z= ( 1+ 3 i ) ( 2 + 2 i ) z= ( 1+ 3 i )( 2 2 i ) 4 = 2 6 4 + 2 6 4 i
    z= B A z= [ 10; 2π 3 ] [ 10; π 4 ] =[ 10 10 ;( 2π 3 )( π 4 ) ] z=[ 1; 11π 12 ]=[ 1; 13π 12 ];( 11π 12 13π 12 [ 2π ] )
  3. cos 13π 12 = 2 6 4 ;sin 13π 12 = 2 6 4
  4. التمرين
    البداية

جواب 9


    التمرين
    البداية

جواب


    التمرين
    البداية