مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

المتتاليات العددية

المتتاليات العددية| المتتاليات الحسابية| المتتاليات الهندسية| نهاية متتالية| مصاديق التقارب| دراسة متتالية من النوع u n+1 =f( u n ) |

المتتاليات العددية

    I مجال من
    كل تطبيقuمن I نحو يسمى متتالية عددية و نرمز لها ب ( u n ) nI
    u n : يسمى الحد العام للمتتاليةu
  1. متتالية مكبورة مصغورة محدودة
    • ( u n ) nI متتالية مكبورة ( M )( nI ) u n M
    • ( u n ) nI متتالية مصغورة ( m )( nI ) u n m
    • ( u n ) nI متتالية محدودة ( (m,M) 2 )( nI )m u n M
  2. رتابة متتالية عددية
    • ( u n ) n n o متتالية تزايدية n n o u n+1 u n 0
    • ( u n ) n n o متتالية تناقصية n n o u n+1 u n 0
    • ( u n ) n n o متتالية ثابتة n n o u n+1 = u n
    • كل متتالية ( u n ) n n o تزايدية او تناقصية تسمى متتالية رتيبة
    1. ملاحظة
      ( u n ) nI متتالية عددية حيث u n 0 لكلnمن I
    2. اذا كان لكلnمن I لدينا u n+1 u n 1 فان المتتالية ( u n ) nI تزايدية
    3. اذا كان لكلnمن I لدينا 0 u n+1 u n 1 فان التتالية ( u n ) nI تناقصية
  3. امثلة
    • المتتالية ( u n ) n المعرفة بما يلي : u n =2n+3 مكبورة بالعدد 3 ( n u n 3 )
    • المتتالية ( v n ) n المعرفة بما يلي : v n = n 2 مصغورة بالعدد 0 ( n v n 0 )
    • المتتالية ( w n ) n المعرفة بما يلي : w n = 1 n+1 محدودة بالعددين 0 و 1 ( n 0 w n 1 )
      1. المتتالية ( u n ) n المعرفة بما يلي u n = n+1 n 2 +1 تناقصية ( n u n+1 u n = 3n n 2 ( (n+1) 2 +1 )( n 2 +1 ) 0 )
      2. احسب u 0 ثم استنتج انها مكبورة بالعدد 1
      3. هل هذه المتتالية محدودة علل جوابك

البداية

المتتاليات الحسابية

    ( u n ) n n o متتالية حسابية أساسها r تكافئ n n o u n+1 u n =r
  1. ( u n ) n n o متتالية حسابية n n o 2 u n+1 = u n+2 + u n
  2. الحد العام لمتتالية حسابية
    ( u n ) n n o متتالية حسابية اساسها r و u p احد حدودها
    n n o u n = u p +( np )r
  3. مجموع حدود متتابعة لمتتالية حسابية
    ( u n ) n n o متتالية حسابية
    u p + u p+1 +........+ u n = np+1 2 ( u p + u n )
  4. تمرين تطبيقي
      نعتبر المتتاليات الحسابية التالية : { v o =3 v n+1 = v n 5 ( n ) { u o =6 u n+1 = u n 3 ( n )
    1. حدد اساس كل من المتتاليتين ( u n ) n و ( v n ) n
    2. اكتب u n و v n بدلالةn
    3. اثبت ان المتتالية ( w n ) n المعرفة بما يلي : ( n ) w n = u n + v n حسابية محددا اساسها و حدها العام
    4. احسب u 0 + u 1 + u 2 +...... u 30 v 0 + v 1 + v 2 +....... v 30 w 0 + w 1 + w 2 +...... w 30
    5. حدد الاعداد الصحيحة الطبيعيةnحيث ( u 0 + u 1 + u 2 +....... u n 1200)

البداية

المتتاليات الهندسية

    ( u n ) n متتالية هندسية اساسهاqتكافئ ( n n o ) u n+1 =q u n
  1. ( u n ) n n o متتالية هندسية ( n n o ) ( u n+1 ) 2 = u n+2 × u n
  2. الحد العام لمتتالية هندسية
    ( u n ) n n o متتالية هندسية اساسهاqو u p احد حدودها
    n n o u n = u p × q np
  3. مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية
    ( u n ) n n o متتالية هندسية اساسهاqيخالف 1
    u p + u p+1 +.......+ u n = u p × 1 q ( np+1 ) 1q
  4. تمرين تطبيقي
      نعتبر المتتالية ( u n ) n المعرفة بما يلي { u 0 =5 u n+1 = 2 u n +6 3 ( n )
    1. احسب u 3 , u 2 , u 1
      • نعتبر المتتالية ( v n ) n المعرفة بما يلي ( n ) v n = u n 6
      • اثبت ان ( v n ) n متتالية هندسية محددا اساسها و حدها الاول
      • عبر عن v n ثم u n بدلالةn
      • ادرس رتابة المتتالية ( u n ) n

البداية

نهاية متتالية عددية

    لتكن ( u n ) n n o متتالية عددية
  1. lim n+ u n تسمى نهاية المتتالية ( u n ) n n o
  2. ( u n ) n n o متتالية متقاربة lim n+ u n
  3. ( u n ) n n o متتالية متباعدة lim n+ u n = او ( u n ) n n o لا تقبل نهاية

البداية

مصاديق التقارب

    ( u n ) nI متتالية عددية و l عدد حقيقي
  1. اذا كان لكلnمن I لدينا | u n l | v n و lim n+ v n =0 فان lim n+ u n =l
  2. اذا كان لكلnمن I لدينا v n u n w n و lim n+ v n = lim n+ w n =l فان lim n+ u n =l
  3. اذا كان لكلnمن I لدينا u n v n و lim n+ v n = فان lim n+ u n =
  4. اذا كان لكلnمن I لدينا u n v n و lim n+ u n =+ فان lim n+ v n =+
    • ليكن q عددا حقيقيا
    • اذا كان 1q1 فان lim n+ q n =0
    • اذا كان q1 فان lim n+ q n =+
    • اذا كان q1 فان المتتالية ( q n ) nI لا تقبل نهاية
  5. كل متتالية تزايدية و مكبورة تكون متقاربة
  6. كل متتالية تناقصية و مصغورة تكون متقاربة
  7. تمرين تطبيقي
    1. ( u n ) متتالية عددية معرفة بما يلي ( n * ) u n = sinn n
      هل هذه المتتالية متقاربة
    2. ( u n ) متتالية عددية معرفة بما يلي ( n * ) u n = n 2 2 n 2 +n
      اثبت ان هذه المتتالية تزايدية و مكبورة ثم احسب نهايتها
    3. ( u n ) متتالية عددية معرفة بما يلي ( n ) u n = 2+ ( 1 ) n 3 n
      اثبت ان هذه المتتالية تناقصية و مصغورة ثم احسب نهايتها

البداية

دراسة متتالية من النوع u n+1 =f( u n )

  1. لتكن ( u n ) متتالية عددية معرفة بالعلاقة u n+1 =f( u n ) و u 0 حدها الاول بحيث f دالة متصلة على مجال I و f(I)I
    اذا كانت ( u n ) متتالية متقاربة فان نهايتها هي حل للمعادلة ( xI ) f(x)=x
  2. تمرين تطبيقي
      نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة بما يلي { u 0 =2 u n+1 =f( u n ) ( n ) مع f:x x+2
    1. ادرس تغيرات الدالة f على المجال I=[ 2,2 ]
    2. تأكد ان f( I )I
    3. اثبت ان n u n 2
    4. احسب u 1 ثم بين ان ( u n ) تزايدية . ماذا تستنتج
    5. احسب نهاية هذه المتتالية
    ارشاد

البداية