مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الدوال الأسية

تمرين 1
حل في المعادلات و المتراجحات التالية :
e x 2 x = 1; e x 1 = e ; e 2 x 3 e x + 2 = 0 e 2 x 6 e x + 5 0; e 3 x + 1 2 e 2 x + 1 + e x + 1 0
الجواب
تمرين 2
احسب النهايات التالية :
lim x 0 e 2 x e x x ; lim x 1 e x e x 1 ; lim x + e x x 2 + 1 lim x + x 2 ( e 1 x e 1 x + 1 ) ; lim x + e x 1 e 2 x 3 e x + 2 lim x + x ( e 1 x 1 ) ; lim x + x e x
الجواب
تمرين 3
نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : f : x 1 e 2 x
  1. حدد مجموعة تعريف الدالةf.
  2. اثبت ان : x D f \ { 0 } : f ( x ) x = 2 x ( e 2 x 1 2 x )
  3. احسب lim x 0 f ( x ) x ثم اول النتيجة هندسيا.
  4. ادرس تغيرات الدالةf.
  5. ارسم منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم.
الجواب
تمرين 4
نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : { f ( x ) = e x + x + 1; x 0 f ( x ) = x 2 ln x ; x 0 f ( 0 ) = 0
  1. احسب نهايات الدالةfعند محدات مجموعة تعريفها .
  2. ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfفي 0.
  3. ادرس تغيرات الدالةf.
  4. ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
  5. ارسم منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم.
الجواب
تمرين 5
لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : { f ( x ) = | 2 x ( 1 ln x ) | ; x 0 f ( x ) = e x 1 2 1 e x ; x 0
  1. ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfفي0 ثم فيe.
  2. اعط تأويل هندسي للنتائج المحصل عليها .
  3. احسب نهايات الدالةfعند محدات مجموعة تعريفها.
  4. ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
  5. ادرس تغيرات الدالةfثم ارسم منحناها في معلم متعامد ممنظم.
الجواب
تمرين 6
لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي: f : x ln ( e x + 1 4 e x )
  1. احسب lim x f ( x ) ; lim x + f ( x )
  2. بين أن : ( x I R ) : f ' ( x ) = ( 2 e x 1 ) ( 2 e x + 1 ) 4 e x + 1
  3. ضع جدول تغيرات الدالةf.
  4. بين أن المنصف الاول مقارب مائل لمنحنى الدالةf.
  5. بين أن : ( x I R ) : f ( x ) = ( x 2 ln 2 ) + ln ( 4 e x + 1 )
  6. ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
  7. حدد نقظ تقاطع منحنى الدالةfمع محور الاراتيب ثم انشئ هذا المنحنى في معلم متعامد ممنظم.
الجواب
تمرين 7
لتكنg الدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : g : x e x + ln ( x ) e
  1. احسب lim x + g ( x ) ; g ( 1 )
  2. ادرس تغيرات الدالةgثم استنتج أن : x [ 1, + [ : g ( x ) 0
  3. نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : { f ( x ) = e x + x ln x ( 1 + e ) x 1; x 0 f ( 0 ) = 0
    • احسب lim x + f ( x )
    • ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfفي 0.
    • ضع جدول تغيرات الدالةf.
    • ادرس الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةf.
    • ارسم المنحنى الممثل للدالةfفي معلم متعامد ممنظم.
الجواب
جواب التمرين 1
e 2x 3 e x +2=0
لكل x من :
( e x ) 2 3 e x +2=0 e 2x 3 e x +2=0
( e x 1 )( e x 2 )=0
e x =2 أو e x =1
x=0 أو x=ln2
إذن S={ 0,ln2 }
e 2x 6 e x +50
لكل x من :
( e x 1 )( e x 5 )0 e 2x 6 e x +50
نلخص هذه الدراسة في جدول فنحصل على :

إذن : S=] ;0 [] ln5;+ [
التمرين
جواب التمرين 2
lim x e x =0; lim x x e x =0
lim x+ e x =+; lim x+ e x x =+
lim x0 e x 1 x =1
lim x+ e x x 2 +1
= lim x+ e x x 2 lim x+ e x x 2 +1
= lim x+ ( e 1 2 x ) 2 4 ( 1 2 x ) 2
= lim x+ 1 4 ( e 1 2 x 1 2 x ) 2
=+
(نضع X= 1 2 x ; X+;x+ )
التمرين
جواب التمرين 3
f:x 1 e 2x
  1. D f ={ x/1 e 2x 0 }
    لكل x من لدينا
    e 2x 1 1 e 2x 0
    2x0
    x0
    إذن : D f = + = [ 0;+ [

  2. = 1 e 2x x x] 0;+ [: f(x) x
    = 1 e 2x x 2
    = 2 x ( e 2x 1 2x )

  3. = lim x 0 + 2 x ( e 2x 1 2x ) lim x 0 + f(x) x
    =+
    الدالة f غير قابلة للإشتقاق على يمين 0 ، و منحناهايقبل نصف مماس رأسي في النقطة ذات الإحداثيات ( 0;0 ) موجه نحو الأراتيب الموجبة .
  4. x] 0;+ [: f ' (x)= 2 e 2x 2 1 e 2x = e 2x 1 e 2x 0
  5. ملحوظة: بما أن lim x+ f(x)= lim x+ 1 e 2x =1 فإن y=1 مقارب أفقي لمنحنى الدالة f بجوار +
التمرين
جواب التمرين 4
{ f(x)= e x +x+1;(x0) f(x)= x 2 lnx;(x0) f(0)=0
  1. lim x f(x)= lim x e x +x+1=
    lim x+ f(x)= lim x+ x 2 lnx=+
  2. الإتصال في الصفر
    = lim x 0 e x +x+1 lim x 0 f(x)
    =0
    =f(0)
    = lim x 0 + x 2 lnx lim x 0 + f(x)
    = lim x 0 + x(xlnx)
    =0
    =f(0)
    بما أن lim x 0 f(x)= lim x 0 + f(x)=f(0) فإن الدالة f متصلة في 0.
    قابلية الإشتقاق في الصفر
    = lim x 0 e x +x+1 x lim x 0 f(x)f(0) x0
    = lim x 0 ( e x 1 x )+1
    =0
    = lim x 0 + x 2 lnx x lim x 0 + f(x)f(0) x0
    = lim x 0 + xlnx
    =0
    بما أن lim x 0 + f(x)f(0) x0 = lim x 0 f(x)f(0) x0 =0 فإن f قابلة للاشتقاق في 0 و f ' (0)=0
  3. { f ' (x)= e x +1;( x0 ) f ' (x)=2xlnx+x;( x0 )
    • لكل x سالب قطعا لدينا e x 1 أي f ' (x)0
    • لكل x موجب قطعا لدينا f ' (x)=x( 1+2lnx ) أي إشارة f ' (x) على المجال ] 0;+ [ هي إشارة 1+2lnx .
      نعلم أن :
      lnx 1 2 x] 0;+ [:1+2lnx0
      x e 1 2
      x 1 e
  4. بما أنه بجوار لدينا f(x)=( x+1 )+( e x ) مع lim x ( e x )=0 فإن y=x+1 معادلة مقارب مائل لمنحنى الدالة f بجوار
    بما أن lim x+ f(x) x = lim x+ xlnx=+ فإن منحنى الدالة f يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الاراتيب بجوار +
التمرين

التمرين

التمرين

التمرين