مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الدوال اللوغاريتمية

تمرين1
حل في المعادلات التالية :
ln x + ln ( 3 x + 2 ) = ln ( 2 x + 3 ) ln ( x 2 4 ) = ln 5 + 2 ln 3 ln | x + 1 | ln | x | = 0 ln x + 1 = ln ( 3 x ) 1 2 ln 2 x
الجواب
تمرين 2
حل في المتراجحات التالية :
ln( 2 x 2 3x5 )2ln2 ( lnx ) 2 ( lnx )60
الجواب
تمرين 3
حل في 2 النظمات التالية :
{ x 2 + y 2 = 13 ln x + ln y = ln 6 { 5 x + 4 y = 12 ln ( x 1 ) + ln y = ln 3 ln 5
الجواب
تمرين 4
احسب النهايات التالية :
lim x + ln ( 3 x 2 ) x 3 ; lim x + 3 x 2 ln x x + ln x ; lim x + ( ln x ) 4 x 2 lim x + ( x ( ln x ) 2 ) ; lim x x ln x ( x 1 x ) ; lim x 0 x 2 ( ln x ) 3 ln ( 1 + 2 x ) lim x 0 tan x ln ( 1 + 2 x ) ; lim x ln ( 1 + 3 x x 2 ) x ; lim x 0 ln ( 1 + 3 x ) x lim x 0 ln ( 1 + 2 x ) 4 x 2 ; lim x 0 x 4 ln x ; lim x 0 x ln ( x 2 x ) ; lim x 0 ( ln cos x ) ln x lim x 1 ( x 1 ) ln x 2 + 2 x 3 ; lim x 1 ln ( 2 x 1 ) 3 x 2 + x 2 ; lim x 1 ln ( 2 x 1 ) x 2 + x 2
الجواب
تمرين 5
ادرس قابلية اشتقاق الدالةfثم احسب الدالة المشتقة لكلxمن مجموعة قابلية اشتقاق الدالةf.
f : x ln ( x 1 x + 1 ) ; f : x ln | x + 1 x | ; f : x ln x x + 1 f : x 1 + ln x x ; f : x x 2 2 x ln x
الجواب
تمرين 6
حدد دوال أصلية للدوال التالية :
x 3 + 2 x 1 + 4 ( x 1 ) 2 ; x 2 ln ( x ) . 1 x ( ln x ) 2 ; x 2 x x 2 + 1 x 2 x 1 ; x 4 3 x 5
الجواب
تمرين 7
نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : f : x x x 1 + ln | x 1 |
  1. حدد مجموعة تعريف الدالةfو احسب f(0)
  2. ادرس تغيرات الدالةfثم استنتج اشارةf.
  3. لتكنgالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : g : x x ln | x 1 |
    ادرس و مثل مبيانيا الدالةg.
الجواب
تمرين8
لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي : { f ( x ) = x ln x ; x 0 f ( 0 ) = 0
  1. ادرس اتصال و قابلية اشتقاق الدالةfعلى +
  2. اتمم دراسة الدالةfو مثلها مبيانيا.
الجواب
تمرين 9
ادرس و مثل مبيانيا الدوال التالية:
f : x | ln x | x ; f : x ( x + 1 ) + ln x + 2 x + 1 f : x x x 2 1 + ln x + 1 x 1 ; f : x x 3 + x 3 ln x { f ( x ) = 1 x 2 ln x ; x I R + * \ { 1 } f ( 1 ) = 2 f ( 0 ) = 0 ; { f ( x ) = x ln 1 | x | ; x 0 f ( 0 ) = 0
الجواب
جواب التمرين 1
تذكير
لكل x و y من *+ لدينا :
  1. ln(x×y)=lnx+lny
  2. ln( 1 x )=lnx
  3. ln( x y )=lnxlny
  4. ln( x r )=rlnx مع r
  5. lnx=lnyx=y
  6. lnxlnyxy
  7. { e2,718 lne=1


(E):lnx+ln(3x+2)=ln(2x+3)

لتكن D مجمموعة تعريف المعادلة E
={ x/x0 }{ x/3x+20 }{ x/2x+30 } D
={ x/x0 }{ x/x 2 3 }{ x/x 3 2 }
= *+

لكل x من *+ لدينا : ( E ) تكافئ lnx(3x+2)=ln(2x+3) تكافئ x(3x+2)=(2x+3) تكافئ x=1 اذن S={ 1 }
التمرين
جواب التمرين 2
ln( 2 x 2 3x5 )2ln2
لتكن D مجموعة تعريف المتراجحة ( E )
D={ x/2 x 2 3x50 } . لندرس إشارة الثلاثية 2 x 2 3x5 .
= ( 3 ) 2 4( 2 )( 5 ) Δ
=9+40
=49

بما أن Δ0 فإن للثلاثية جذرينين مختلفين هما : x 1 =1; x 2 = 5 2 .

إذن D=] ;1 [] 5 2 ;+ [ .
لكل x من D :
( E ) ln( 2 x 2 3x5 )ln4
2 x 2 3x54
2 x 2 3x90
بما أن Δ=81 أي Δ0 فإن للثلاثية 2 x 2 3x9 جذرين مختلفين هما : 3; 3 2 :
و عليه : S=] 3 2 ;3 [D=] 3 2 ;1 [] 5 2 ;3 [
التمرين
جواب التمرين 3
بدون جواب
التمرين
جواب التمرين 4

تذكير 1
lim x+ lnx=+ و lim x+ lnx x = 0 +

تذكير 2
lim x0 ln(1+x) x =1 و lim x 0 + lnx= و lim x 0 + xlnx= 0
تذكير 3
lim x1 lnx x1 =1
lim x+ ( lnx x ) 4 lim x+ ( lnx ) 4 x 2
= lim x+ ( 2 ln x x ) 4
=16 lim x+ ( ln x x ) 4
=16 lim X+ lnX X =0
نضع X= x إذن X+;x+
= lim x+ 32 lnx x 1+ lnx x lim x+ 3x2lnx x+lnx
=3
= lim x+ lnx( 3 2 x ) x 3 lim x+ ln( 3x2 ) x 3
= lim x+ lnx x 3 + ln( 3 2 x ) x 3
= lim x+ 3ln x 3 x 3 + ln( 3 2 x ) x 3
=0
التعليل
  • نضع X= x 3 . x+;X+ إذن : lim x+ ln x 3 x 3 = lim X+ lnX X =0
  • بما أن lim x+ ln( 3 2 x )=ln(3) فإن lim x+ ln( 3 2 x ) x 3 =0
التمرين
جواب التمرين 5

تذكير
لتكن h دلة عددية لمتغير حقيقي x.
إذا كانت h قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على مجال I من فإن الدالة f:xln( | h(x) | ) قابلة للإشتقاق على I و : xI: f ' (x)= h ' (x) h(x)
f:x lnx x+1
الدالة xlnx قابلة للإشتقاق على *+ . الدالة xx+1 قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على *+ .
إذن الدالة f:x lnx x+1 قابلة للإشتقاق على *+ و :
= ( 1 x )( x+1 )lnx ( x+1 ) 2 x *+ : f ' (x)
= ( x+1 )xlnx x ( x+1 ) 2
f:xln| x+ 1 x |
الدالة xx+ 1 x قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على كل من المجالين I=] ;0 [ و J=] 0,+ [ .
استنادا على هذا فإن الدالة f:xln| x+ 1 x | قابلة للإشتقاق على كل من المجالين I و J و :
= 1 1 x 2 x+ 1 x x * : f ' (x)
= x 2 1 x 2 × x x 2 +1
= x 2 1 x( x 2 +1 )
التمرين
جواب التمرين 6

تذكير
لتكن h دلة عددية لمتغير حقيقي x.
إذا كانت h قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على مجال I من فإن الدالة xln| h(x) |+λ حيث λ ، دالة أصلية للدالة x h ' (x) h(x) على المجال I
f:x 2x x 2 +1

الدالة g:x x 2 +1 قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على . وبما أن :
= 2x x 2 +1 x:f(x)
= g ' (x) g(x)
فإن F:xln| g(x) |+λ أي F:xln| x 2 +1 |+λ حيث λ دالة أصلية للدالة f على

f:x3+ 2 x1 + 4 ( x1 ) 2
الدالة g:xx1 قابلة للإشتقاق ولا تنعدم على كل من المجالين I=] ;1 [ و J=] ;1 [ و لكل x1 :
=3+2× 1 x1 4× 1 ( x1 ) 2 f(x)
=3+2 g ' (x) g(x) 4 g ' (x) ( g(x) ) 2
إذن الدالة F:x3x+2ln| g(x) | 4 g(x) +λ أي F:x3x+2ln| x1 | 4 x1 +λ حيث λ دالة أصلية للدالة f على كل من المجالين I و J.
التمرين
جواب التمرين 7
    f:x x x1 +ln| x1 |

    • ={ x/x10 } D f
      ={ x/x1 }
      =] ;1 [] 1;+ [
    • f(0)=0
  1. الدالة xx1 قابلة للإشتقاق و لا تنعدم على كل من المجالين I=] ;1 [ و J=] 1;+ [ إذن الدالة f قابلة للإشتقاق على كل من المجالين I و J و :
    = ( x1 )x ( x1 ) 2 + 1 ( x1 ) x D f : f ' (x)
    = 1 ( x1 ) 2 + 1 ( x1 )
    = 1+x1 ( x1 ) 2
    = x2 ( x1 ) 2

    لكل x1 الصيغتين f ' (x) و ( x2 ) لهما نفس الإشارة.
  2. g:xxln| x1 |
    • مجموعة التعريف:
      D g =] ;1 [] 1;+ [
    • النهايات عند محدات مجموعة التعريف

      • = lim x xln| x1 | lim x g(x)
        =

      • = lim x1 xln| x1 | lim x1 g(x)
        =

      • = lim x+ xln| x1 | lim x+ g(x)
        =+
    • قابلية الاشتقاق و التغيرات:
      الدالة x| x1 | موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على كل من المحالين I=] ;1 [ و J=] 1;+ [ إذن الدالة xln| x1 | قابلة للاشتقاق على كل من المجالين I و J و بالمثل الدالة g.
      =ln| x1 |+ x x1 x1: g ' (x)
      =f(x)
      لدراسة تغيرات الدالة g نستعين بجدول اشارة الدالة f.
    • الفروع اللانهائية
      • بما أن lim x1 f(x)= فإن المستقيم x=1 مقارب رأسي لمنحنى الدالة g.
      • بما أن
        = lim | x |+ ln| x1 | lim | x |+ g(x) x
        =+
        فإن منحنى الدالة g يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الأراتيب بجوار + و -
    • التقعر
      = ( x1 )x ( x1 ) 2 + 1 ( x1 ) x1: g ' (x)
      = 1 ( x1 ) 2 + 1 ( x1 )
      = 1+x1 ( x1 ) 2
      = ( x2 ) ( x1 ) 2
      إذن لكل x1 إشارة g " (x) هي إ شارة ( x2 ) .
    • المنحنى
التمرين
جواب التمرين 8
التمرين