مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الامتحان الوطني 2004

التمرين الاول

    الفضاء (E) منسوب الى معلم متعامد ممنظم ( O, i , j , k )

    لتكن (S) مجموعة النقط M(x,y,z) حيث x 2 + y 2 + z 2 4y+2z+2=0
  1. بين ان (S) فلكة مركزها Ω(0,2,1) و شعاعها 3
    1. تحقق ان A(1,1,0)( S )
    2. اكتب معادلة المستوى (P) المماس للفلكة (S) عند النقطة A
  2. تحقق من ان : x+y+z2=0 معادلة ديكارتية للمستوى (Q) المار من B(1,3,2) و n (1,1,1) منظمية عليه
الجواب

التمرين الثاني

    نعتبر في مجموعة الاعداد العقدية المعادلة ( E ): z 2 4iz4(1+i)=0 نرمز ب z 1 ; z 2 لحلي المعادلة (E) بحيث Re( z 1 )0
  1. بين ان مميز المعادلة (E) هو Δ= [ 2 2 ( 1+i ) ] 2 ثم حدد حلي المعادلة (E)
    1. نصع a=2i,b= 2 (1+i)
    2. تحقق من ان z 2 =ab, z 1 =a+b
    3. واكتب a و b على الشكل المثلثي
    1. نعتبر في المستوى العقدي المنسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر ( O, u , v ) النقط A و B و C التي الحاقها على التوالي a و b و z 1
    2. مثل النقط A و B و C و تحقق من ان : OA=OB; OC = OA + OB
    3. استنتج ان OBCA معين ثم ان : arg( z 1 ) 3π 8 [ 2π ]
الجواب

التمرين الثالث

    يحتوي كيس على تسع بيدقات لا يمكن التمييز بينها باللمس: بيدقتان بيضاوين نحملان الرقم 1 و ثلاث بيدقات حمراء تحمل الارقام 1,2,2 و اربع بيدقات سوداء تحمل الارقام 1,1,2,2. نسحب عشوائيا و في ان واحد ثلاث بيدقات من الكيس.
  1. احسب حتمال كل من الاحداث التالية:
    A:البيدقات الثلاث المسحوبة مختلفة الالوان.
    B:البيدقات الثلاث المسحوبة تحمل نفس الرقم.
    C:من بين البيدقات المسحوبة توجد على الاقل بيدقة واحدة حمراء.
  2. احسب احتمال الحدث : AB
الجواب

المسألة

الجزء الاول

    لتكن f الدالة العددية للمتغير الحقيقي x المعرفة على IR بما يلي : f(x)=1 1 2 x 2 e x +1
    و ( C ) هو المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم ( O, i , j )
    1. تحقق من ان : 1 e x +1 =1 1 e x +1 لكل x من IR.
    2. استنتج ان f فردية .
  1. احسب lim x+ f(x)
    1. بين ان : f ' (x)= 1 2 ( e x 1 e x +1 ) 2 لكل x من IR.
    2. اعط جدول تغيرات الدالة f على +
    3. استنتج ان : ( x + ):1 2 e x +1 1 2 x
  2. بين ان : lim x+ [ f(x)( 1 1 2 x ) ]=0 ثم اول هندسيا هذه النتيجة.
  3. انشئ في المعلم ( O, i , j ) المستقيم الذي معادلته y=1 1 2 x ثم انشئ المنحنى ( C ) .
    1. بوضع t= e x بين ان : 1 0 1 1+ e x dx=ln( e+1 2 ) .
    2. احسب مساحة حيز المستوى المحصور بين منحنى الدالة f ومحور الافاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهما على التوالي x=-1 و x=0.
الجواب

الجزء الثاني

    لتكن ( u n ) المتتالية العددية المعرفة بما يلي : { u n+1 =1 2 e u n +1 u 0 =1 لكل n من IN.
  1. بين بالترجع ان : ( n ): u n 0 .
    1. تحقق باستعمال نتيجة السؤال الثالث iii من الجزء الاول من ان : ( n ): u n+1 1 2 u n
    2. استنتج ان المتتالية ( u n ) تناقصية.
  2. بين ان : ( n ): u n ( 1 2 ) n ثم احسب lim x+ u n .


الجواب


جواب التمرين 1

( S ): x 2 + y 2 + z 2 4y+2z+2=0
  1. x 2 + y 2 + z 2 4y+2z+2=0 تكافئ x 2 + y 2 + z 2 2(2)y2(1)z+2=0
    نضع : d=2;c=1;b=2;a=0
    لذينا a 2 + b 2 + c 2 d=3
    بما أن a 2 + b 2 + c 2 d0 فإن ( S ) فلكة مركزها Ω(0;2;1) و شعاعها r= a 2 + b 2 + c 2 d = 3
    • بما أن : ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 0 ) 2 4( 1 )+2( 0 )+2=0 فإن A( S )
    • المتجهة AΩ ( 1;1;1 ) متحهة منظمية على المستوى ( P ) إذن : ( P ):x+yz+c=0 .
      وبما أن A( P ) فإن : 1+1+c=0 أي c=0 و منه فإن : ( P ):x+yz=0
  2. نعلم أن : ( Q ):x+y+z+e=0;( e ) و بما أن B( Q ) فإن 1+32+e=0 أي e=2 إذن ( Q ):x+y+z2=0
التمرين
البداية

جواب التمرين 2

    ( E ): z 2 4iz4( 1+i )=0
  1. لذينا :
    = ( 4i ) 2 4( 4(1+i) ) Δ
    =16+16+16i
    =16i
    = [ 2 2 (1+i) ] 2

    إذن 2 2 ( 1+i ) أحد الجذور المربعة للعدد Δ و بالتالي فإن :
    = 4i+2 2 ( 1+i ) 2 z 1 | | = 4i-2 2 ( 1+i ) 2 z 2
    =2i+ 2 + 2 i | | =2i- 2 - 2 i
    = 2 +( 2+ 2 )i | | = 2 +( 2 2 )i

    • =2i+ 2 ( 1+i ) a+b | | =2i 2 ( 1+i ) a-b
      = 2 +( 2+ 2 )i | | = 2 +( 2 2 )i
      = z 1 | | = z 2

    • =2i a | | = 2 ×( 1+i ) b
      =[ 2; π 2 ] | | =[ 2 ;0 ][ 2 ; π 4 ]
      | | =[ 2; π 4 ]

      • بما أن z 1 =a+b فإن z 1 و a+b لهما نفس الصورة المتجهية أي OC = OA + OB
      • لذينا :
        =| a | OA | | =| b | OB
        =2 | | = 2+2
        | | =2
      إذن : OA=OB .
    • بما أن OA + OB = OC فإن OBCA متوازي الأضلاع .
      نعلم أن كل متوازي الأضلاع ، ضلعان متتابعان فيه متقايسان، يكون معينا.
      إذن OBCA متوازي الأضلاع زائد OA=OB أي معين.
      ليكن I نقطة تقاطع قطري المعين OBCA.
      • المثلث OAB متساوي الساقين في النقطة O.
        إذن :
        ( π π 4 2 )[ 2π ] ( BI , BO ) ¯
        = 3π 8 [ 2π ]
      • المثلث OBI قائم الزاوية في النقطة I.
        إذن :
        ( π 2 3π 8 )[ 2π ] ( OB , OI ) ¯
        = π 8 [ 2π ]
      و عليه فإن :
      ( π 4 + π 8 )[ 2π ] arg( z 1 )
      = 3π 8 [ 2π ]
التمرين
البداية

جواب التمرين 3

    B1_B1
    R2_R2_R1
    N1_N1_N2_N2

    = C 9 3 cardΩ
    = 9! 3!×6!
    =84
  1. بيضاء و حمراء و سوداء
    = cardA cardΩ P( A )
    = C 2 1 × C 3 1 × C 4 1 84
    = 2×3×4 84
    = 2 7

    تحمل الرقم 1 أو تحمل الرقم 2
    = cardB cardΩ P( B )
    = C 5 3 + C 4 3 84
    = 1 6

    C ¯ : ليست هناك اية بيدقة حمراء.
    =1P( C ¯ ) P( C )
    =1 C 6 3 84
    =1 5 21
    = 16 21
  2. مختلفة الألوان و تحمل الرقم 1
    = C 2 1 × C 1 1 × C 2 1 84 P( AB )
    = 4 84
    = 1 21
التمرين
البداية

المسألة

جواب الجزء الأول

    f(x)=1 1 2 x 2 e x +1
    • لكل x من لذينا :
      = 1 1 e x +1 1 e x +1
      = e x 1+ e x
      = ( e x +1 )1 e x +1
      =1 1 e x +1
      • D f =
      • لكل x من ، x .
      • لكل x من :
        =1+ 1 2 x 2 e x +1 f(x)
        =1+ 1 2 x2( 1 1 e x +1 )
        =1+ 1 2 x+ 2 e x +1
        =( 1 1 2 x 2 e x +1 )
        =f(x)
        إذن f دالة فردية.

  1. = lim x+ 1 1 2 x 2 e x +1 lim x+ f(x)
    =
    • لكل x من :
      = 1 2 + 2 e x ( e x +1 ) 2 f ' (x)
      = ( e x ) 2 2 e x 1+4 e x 2 ( e x +1 ) 2
      = [ ( e x ) 2 2 e x +1 ] 2 ( e x +1 ) 2
      = 1 2 ( e x 1 e x +1 ) 2
التمرين
البداية

جواب الجزء الثاني

التمرين
البداية