مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الامتحان الوطني 2005

يتكون هذاالموضوع من اسئلة مستقلة فيما بينها و تمرينين و مسألة
يسمح باستعمال الالة الحاسبة غير القابلة للبرمجة

اسئلة

السؤال الاول
حل في مجموعة الاعداد العقدية المعادلة z 2 2(1+2i)z+1+4i=0

جواب

السؤال الثاني

بين ان ( 3 +i 2 ) 12 =1

جواب

السؤال الثالث

باستعمال مكاملة بالاجزاء بين ان 1 e x 2 lnxdx= 2 e 3 +1 9

جواب

السؤال الرابع

بين ان (t= x1 ) 2 4 dx x x1 = π 6

جواب

التمرين الاول

نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم الفلكة S التي معادلتها (x1) 2 + y 2 + (z1) 2 =2

و المستوى P الذي معادلته x+y3=0

  1. بين ان المستوى P مماس للفلكة S
  2. حدد مثلوث احداثيات نقطة تماس P و S

جواب

التمرين الثاني

    يحتوي صندوق على ثلاث كرات بيضاء و سبع كرات سوداء لايمكن التمييز بينها باللمس
    نسحب عشوائيا وفي ان واحد كرتين من الصندوق. ليكن A و B الحدثين التاليين:

    A: الكرتان المسحوبتان لونهما اسود

    B: من بين الكرتين المسحوبتين توجد على الاقل كرة لونها ابيض

  1. بين ان احتمال الحدث A يساوي 7 15 وان احتمال الحدث B يساوي 8 15
  2. نعتبر التجربة العشوائية التالية : نسحب كرة واحدة من الصندوق , فادا كانت بيضاء نتوقف عن السحب واذا كانت سوداء نضعها جانبا ثم نسحب كرة ثانية واخيرة من الصندوق


  3. ليكن C و D الحدثين التاليين :

    C : الحصول على كرة بيضاء في السحبة الاولى

    D : الحصول على كرة بيضاء

    1. احسب احتمال الحدث C
    2. بين ان احتمال الحدث D يساوي 8 15

جواب

مسالة

الجزء الاول

    نعتبر الدالتين g و h المعرفتين على المجال ] 0,+ [ بما يلي : g(x)=x1lnx و h(x)=x+(x2)lnx
  1. احسب g ' (x) لكل x من المجال ] 0,+ [
  2. استنتج ان g(x)0 لكل x من المجال ] 0,+ [
    1. بين ان h(x)=1+g(x)+(x1)lnx لكل x من المجال ] 0,+ [
    2. بين ان : (x1)lnx0 لكل x من المجال ] 0,+ [
  3. استنج ان : h(x)0 لكل x من المجال ] 0,+ [
جواب
الجزء الثاني
    نعتبر الدالة المعرفة على ] 0,+ [ بما يلي f(x)=1+xlnx (lnx) 2
    و ليكن ( C ) المنحنى الممثل للدلة f في معلم متعامد ممنظم.
    1. احسب lim x 0 + f(x) ثم اول النتيجة مبيانيا.
    2. احسب lim x+ f(x) ثم حدد الفرع الانهائي للمنحنى ( C ) بجوار +
      لاحظ ان : f(x)=1+xlnx( 1 lnx x )
    1. بين ان x] 0,+ [: f ' (x)= h(x) x
    2. استنتج ان الدالة f تزايدية قطعا على المجال ] 0,+ [
    1. ليكن ( Δ ) المستقيم المماس للمنحنى ( C ) في النقطة A(1,1)
    2. بين ان معادلة ديكارتية للمستقيم ( Δ ) هي y=x
    3. تحقق من ان : x] 0,+ [:f(x)x=(lnx1)g(x)
    4. ادرس اشارة f(x)x ثم استنتج الوضع النسبي للمنحنى ( C ) و المستقيم ( Δ )
  1. انشئ المنحنى ( C ) و المستقيم ( Δ ) في نفس المغلم
    نقبل ان المنحنى ( C ) يقبل نقطة انعطاف أفصولها محصور بين 1 و 1,5
جواب
الجزء الثالث
    نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة بما يلي : (n): u n+1 =f( u n ); u 0 = e
  1. بين بالترجع ان (n):1 u n e
  2. بين ان المتتالية ( u n ) تناقصية
  3. استنتج ان المتتالية ( u n ) متقاربة ثم احسب نهايتها.


جواب

جواب السؤال 1

z 2 2( 1+2i )z+1+4i=0

بما أن : Δ= [ 2( 1+2i ) ] 2 4( 1+4i )=16= ( 4i ) 2 فإن 4i أحد الجذور المربعة ل Δ و عليه :
z= 2( 1+2i )+4i 2 =1+4i أو z= 2( 1+2i )4i 2 =1 أي S={ 1;1+4i }
السؤال

جواب السؤال 2

= ( 3 2 + 1 2 i ) 12 ( 3 +i 2 ) 12
= ( cos π 6 +isin π 6 ) 12
= [ 1, π 6 ] 12
= [ 1,2π ]
= [ 1,0 ]
=1
السؤال

جواب السؤال 3

1 e x 2 lnxdx

نضع : u(x)=lnx; u ' (x)= 1 x v(x)= x 3 3 ; v ' (x)= x 2 إذن باستعمال مكاملة بالأجزاء نحصل على :
= [ x 3 3 lnx ] 1 e 1 e x 3 3 × 1 x dx 1 e x 2 lnxdx
= e 3 3 1 e x 2 3 dx
= e 3 3 [ x 3 9 ] 1 e
= e 3 3 e 3 9 + 1 9
= 2 e 3 +1 9
السؤال

جواب السؤال 4

نضع
t= x1

نعلم أن : x=2t=1 x=4t= 3
وكذلك dt= 1 2 x1 dx اي dx x1 =2dt .
كما أن : t 2 +1=x
بناء على هذا نستنج أن :
= 1 3 1 t 2 +1 ×2dt 2 4 dx x x1
=2 1 3 dt 1+ t 2
=2 [ Arctant ] 1 3
=2( Arctan 3 Arctan1 )
=2( π 3 π 4 )
= π 6
السؤال

جواب التمرين الأول

S: ( x1 ) 2 + y 2 + ( z1 ) 2 =2 P:x+y3=0


  1. S( A;R ) فلكة مركزها A(1;0;1) و شعاعها R= 2 .
    بما أن :
    = | 1+03 | 1 2 + 1 2 + 0 2 d(A;P)
    = 2 2
    = 2
    =R

    فإن المستوى P مماس للفلكة S .
  2. ليكن ( Δ ) المستقيم المار من النقطة A و العمودي على المستو P .
    نعلم أن المتجهة u ( 1;1;0 ) منظمية على المستوى P و كذلك موجهة للمستقيم ( Δ ) إذن :
    ( Δ ):{ x=1+t y=t z=1 (t) .
    و بما أن نقطة تماس P و S هي مشتركة بين P و ( Δ ) فإن : ( 1+t )+t3=0 أي t=1 ومنه فإن مثلوث احداثيات نقطة تماس P و S هو : ( 2,1,1 )
التمرين

جواب التمرين الثاني

    bbb
    nnnnnnn


    نعلم أن رئيسي كون الإمكانيات هو :
    = C 10 2 cardΩ
    = 10! 2!( 102 )!
    = 10! 2!×8!
    = 9×10 2
    =45
  1. بما أنه لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس فإن للأحداث الابتدائية نفس الإحتمال اي هنا ك تساوي الإحتمالات. وعليه فإن :
    = cardA cardB P(A)
    = C 7 2 45
    = 7! 2!×5! 45
    = 21 45
    = 7 15

    الحدث B يحتوي على إمكانيات من النوع bb و nb أي أن الحدث A هو الحدث المضاد للحدث B. وعليه فإن :
    =1P( B ¯ ) P( B )
    =1P( A )
    =1 7 15
    = 8 15

    • = C 3 1 C 10 1 P( C )
      = 3 10

    • = C 3 1 C 10 1 + C 7 1 × C 3 1 C 10 1 × C 9 1 P( D )
      = 3 10 + 21 90
      = 16 30
      = 8 15
التمرين

جواب المسألة

لكل x من ] 0;+ [ لذينا :
g(x)=x1lnx h(x)=x+(x2)lnx

الجزء الأول

  1. الدالة g قابلة للإشتقاق على المجال ] 0;+ [ و لكل x من ] 0;+ [
    =1 1 x g ' (x)
    = x1 x
    إذن إشارة g ' (x) على المجال ] 0;+ [ هي إشارة ( x1 )
  2. لنضع جدول تغيرات الدالة g

    نستنتج تبعالجدول تغيرات الدالة g أن : لكل x من المجال ] 0;+ [ لذينا g (x)0 .

    • لكل x من ] 0;+ [ لذينا :
      =x+(x2)lnx h(x)
      =x+( x1 )lnxlnx
      =( xlnx1 )+( x1 )lnx+1
      =1+g(x)+(x1)lnx
    • لندرس إشارة الجداء (x1)lnx على المجال ] 0;+ [
  3. بما أن لكل x من المجال ] 0,+ [ لذينا g(x)0 و (x1)lnx0 و h(x)=1+g(x)+(x1)lnx فإن h(x)0 لكل x من المجال ] 0,+ [
التمرين

الجزء الثاني

f:x1+( xlnx ) ( lnx ) 2

    • = lim x 0 + 1+( xlnx ) ( lnx ) 2 lim x 0 + f(x)
      =
      التأويل المبياني: المستقيم x=0 مقارب رأسي للمنحنى ( C ) على يمين 0.

    • لذينا :
      = lim x+ 1+xlnx( 1 lnx x ) lim x+ f(x)
      =+
      و بماأن lim x+ f(x) x = lim x+ 1 x +lnx( 1 lnx x )=+ فإن المنحنى ( C ) يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الاراتيب بجوار +

    • =lnx+12 lnx x x] 0;+ [: f ' (x)
      = xlnx+x2lnx x
      = x+( x2 )lnx x
      = h(x) x
    • بما أنه لكل x من المجال h(x),] 0,+ [ فإن f ' (x)0 أي الدالة f تزايدية قطعا على المجال ] 0,+ [
    • نعلم أن معادلة ديكارتية للمستقيم ( Δ ) تكتب على شكل : y= f ' (x)( x1 )+f(1) أي y=1( x1 )+1=x

    • =1+xlnx ( lnx ) 2 x x] 0,+ [:f(x)x
      =1+xlnx ( lnx ) 2 x+lnxlnx
      =( x1lnx )+lnx( x1lnx )
      =g(x)+lnx( g(x) )
      =g(x)( lnx1 )

      • على المجالين ] 0;1 [ و ] 1;e [ منحنى الدالة f تحت المستقيم ( Δ )
      • منحنى الدالة f و المستقيم ( Δ ) يلتقيان في النقطتين ذات الإحداثيات (1;1);(e;e)
      • على المجال ] e;+ [ منحنى الدالة f فوق المستقيم ( Δ ) .

التمرين

الجزء الثالث

التمرين