الامتحان الوطني 2006

( يسمح باستعمال الآلة الحاسبة غير القابلة للبرمجة)

التمرين الأول (نقطتان )

  1. حل المعادلة التفاضلية : y " 6 y ' +9y=0
  2. نعتبر المعادلة التفاضلية التالية : ( E ): y " 6 y ' +9y=2 e 3x
    • بين أن الدالة u المعرفة على بما يلي : u(x)= x 2 e 3x هي حل خاص للمعادلة ( E )
    • اعط الحل الخاص للمعادلة ( E ) .
جواب

التمرين الثاني (اربع نقط)

نعتبر في مجموعة الاعداد العقدية المعادلة : z 2 2 3 ( 1+i )z+8i=0
نرمز ب z 1 و z 2 لحلي هذه المعادلة بحيث e( z 1 )e( z 2 )

  1. حدد z 1 و z 2 ( لاحظ أن ( 1i ) 2 =2i )
    • بين أن : z 1 2 =4( 3 +i ) و z 2 =i z 1 ¯
    • اكتب على الشكل المثلثي العدد العقدي 4( 3 +i )
    • استنتج الشكل المثلثي لكل من العددين z 1 و z 2
  2. نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر ( O, u , v ) النقطتين A و B اللتين لحقاهما على التوالي z 1 و z 2 . احسب arg( z 2 z 1 ) ثم استنتج أن المثلث OAB متساوي أضلاع.
جواب

التمرين الثالث (اربع نثط)

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ِ ( O, i , j , k ) النقطة A( 1;1;3 ) و المستوى ( P ) الذي معادلته : xy+3z=0

    • تحقق من أن : { x=t y=t z=3t ( t ) تمثيل بارامتري للمستقيم ( OA )
    • حدد معادلة ديكارتية للمستوى ( Q ) العمودي على المستقيم ( OA ) في النقطة A.
    • تحقق من أن ( P ) يوازي المستوى ( Q )
  1. نعتبر الفلكة ( S ) المماسة للمستوى ( Q ) في النقطة A و التي يقطعها المستوى ( P ) وفق الدائرة Γ التي مركزها O و شعاعها 33 .
    • بين أن Ω( a,b,c ) مركز الفلكة ( S ) ينتمي إلى ( OA ) ثم استنتج أن b=a و c=3a
    • بين أن Ω A 2 Ω O 2 =33 ثم استنتج أن ab+3c=11 .
    • استنتج إحداثيات Ω مركز الفلكة ( S ) ثم بين أن شعاعها يساوي 2 11
جواب

مسألة (10 نقط)

  1. نعتبر الدالة g المعرفة على المجال [ 0,+ [ بما يلي : g(x)=ln(1+x)x
      • احسب g ' (x) لكل x من [ 0,+ [ ثم بين أن الدالة g تناقصية قطعا على [ 0,+ [
      • استنتج أن : g(x)0 لكل x من [ 0,+ [
    1. بين أن 0ln(1+x)x لكل x من [ 0,+ [
  2. نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي : f(x)=x+ln( x+1 x1 ) و ( C ) هو المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم ( O, i , j ) ( الوحدة 1cm ).
    1. بين أن حيز تعريف الدالة f هو : D=] ,1 [] 1,+ [ .
      • بين أن f دالة فردية.
      • احسب lim x+ f(x) و lim x 1 + f(x)
      • بين أن : xD: f ' (x)= x 2 3 x 2 1 .
      • استنتج تغيرات الدالة f على المجال ] 1,+ [
      • تحقق من أن المستقيم ( Δ ) الذي معادلته y=x مقارب مائل للمنحنى ( C ) .
      • ادرس إشارة ln( x+1 x1 ) ( يمكن ملاحظة أن : xD: x+1 x1 =1+ 2 x1 ).
      • استنتج الوضع النسبي للمنحنى ( C ) و المستقيم ( Δ )
    2. أنشئ ( C ) في المعلم ( O, i , j ) ( نأخذ 3 1,7 و f( 3 )3 )
      • بين أن : 2 4 ln( x+1 x1 )dx=5ln56ln3 ( يمكن استعمال مكاملة بالأجزاء ).
      • استنتج ب c m 2 مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى ( C ) و المستقيمات التي معادلاتها على التوالي : x=2 و x=4 و y=x
جواب