مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الامتحان الوطني
الدورة الاستدراكية


(يسمح باستعمال الآلة الحاسبة غير المبرمجة)

التمرين الأول (نقطتان و نصف)
نعتبر المتتالية العددية ( u n ) المعرفة بما يلي : u ο =1 و u n+1 = u n 3 3 u n 2 +1 لكل n من .
    • بين أن : u n 0 لكل n من
    • بين أن المتتالية ( u n ) تناقصية .
    • استنتج أن ( u n ) متقاربة .
    • بين أن u n+1 1 3 u n لكل n من .
    • استنتج أن : u n ( 1 3 ) n لكل n من ثم احسب lim n+ u n .
الجواب
البداية

التمرين الثاني (ثلاث نقط و نصف)
نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر ( O, i , j , k ) النقط A( 1;2;2 ) و B( 0;3;3 ) و C( 1;1;2 ) و المستوى ( P ) الذي معادلته : x+y3=0 .
    • احسب مسافة النقطة Ω( 0;1;1 ) عن المستوى ( P ) .
    • استنتج أن معادلة ديكارتية للفلكة ( S ) التي مركزها Ω( 0;1;1 ) و المماسة للمستوى ( P ) هي : x 2 + y 2 + z 2 2y+2z=0
    • حدد AB AC ثم استنتج أن النقط A و B و C غير مستقيمية.
    • بين أن : xz3=0 معادلة ديكارتية للمستوى ( ABC ) .
    • تحقق من أن الفلكة ( S ) مماسة للمستوى ( ABC ) .
    • احسب المسافة ΩC و استنتج نقطة تماس ( S ) و المستوى ( ABC ) .
الجواب
البداية

التمرين الثالث(ثلاث نقط)
نعتبر في مجموعة الأعداد الغقدية المعادلة التالية : ( E )2 z 2 2iz1=0
    • حل في المعادلة ( E ) . ( z 1 و z 2 هما حلا المعادلة بحيث e( z 1 )0 ).
    • اكتب z 1 و z 2 على الشكل المثلثي.
  1. في المستوى العقدي المنسوب الى معلم متعامد ممنظم ( O, e 1 , e 2 ) نعتبر النقط A و B و S التي ألحاقها على التوالي هي : a= 1 2 + 1 2 i و b= 1 2 + 1 2 i و s=i .
    • اكتب على الشكل المثلثي العدد العقدي : as bs .
    • استنتج أن المثلث SAB متساوي الساقين و قائم الزاوية في S.
    • بين أن الرباعي OASB مربع .
الجواب
البداية

التمرين الرابع(ثلاث نقط)
يحتوي كيس U 1 على بيدقتين تحملان الرقم 1 ، و على أربع بيدقات تحمل الرقم 2 (لا يمكن التمييز بينها باللمس) و يحتوي كيس U 2 على ثلاث كرات حمراء و أربع كرات خضراء (لا يمكن التمييز بينها باللمس كذلك).
نسحب عشوائيا بيدقة واحدة من الكيس U 1 .
  1. احسب احتمال الحدثين التاليين:
    A:"البيدقةالمسحوبة تحمل الرقم 1".
    B:"البيدقة المسحوبة تحمل الرقم 2".
  2. نعتبر في هذا السؤال التجربة العشوائية التالية :
    نسحب بيدقة واحدة من الكيس U 1 و نسجل رقمها :
    • إذا كان الرقم هو 1 نقوم بسحب كرةواحدة من الكيس U 2 .
    • و إذا كان هذا الرقم هو 2 نقوم بسحب كرتين في آن واحد من الكيس U 2
    ليكن n عدد الكرات الحمراء المسحوبة من الكيس U 2 و E n الحدث "الحصول بالضبط على n كرة حمراء"
    • بين أن p( E 1 )= 11 21 و p( E 2 )= 2 21
    • احسب احتمال الحدث A علما أن الحدث E 1 محقق .
الجواب
البداية

التمرين الخامس (ثمان نقط )
لتكن f الدالة العددية للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي : f(x)=ln( x 2 2x+2 ) و ( C ) هو المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم ( O, i , j ) .
    • تحقق من أن : x 2 2x+2= ( x1 ) 2 +1 لكل x من .
    • استنتج أن f معرفة على ثم احسب lim x+ f(x) و lim x- f(x) .
  1. بين أن f(2x)=f(x) لكل x من ثم استنتج أن المستقيم الذي معادلته x=1 محور تماثل المنحنى ( C ) .
    • تحقق من أن : f(x)=2ln(x)+ln( 1 2 x + 2 x 2 ) لكل x من المجال [ 1;+ [
    • استنتج أن : lim x+ f(x) x =0 ثم أول هندسيا هذه النتيجة.
    • بين أن : f ' (x)= 2(x1) ( x1 ) 2 +1 لكل x من .
    • اعط جدول تغيرات الدالة f على .
    • بين أن : f " (x)= 2x(2x) [ ( x1 ) 2 +1 ] 2 لكل x من .
    • ادرس تقعر المنحنى ( C ) .
  2. أنشئ المنحنى ( C ) .
  3. ليكن h قصور الدالة f على المجال [ 1;+ [ .
    • بين أن h تقابل من المجال [ 1;+ [ نحو مجال J يتم تحديده.
    • حدد h 1 (x) لكل x من J.
    • بوضع t=x1 بين أن : 0 1 f(x)dx = 1 0 ln( 1+ t 2 )dt .
    • باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن : 1 0 ln( 1+ t 2 )dt =ln22 1 0 t 2 1+ t 2 dt
    • بين أن : 1 0 t 2 1+ t 2 dt=1 π 4 ( لاحظ أن : t 2 1+ t 2 =1 1 1+ t 2 لكل ف من ).
    • استنتج مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى ( C ) و محور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما على التوالي x=1 و x=0 .