مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الامتحان الوطني
الدورة الاستدراكية

يتكون هذا الموضوع من اسئلة مستقلة فيما بينها و ثلاث تمارين و مسألة .
يسمح باستعمال الالة الحاسبة غير القابلة للبرمجة

اسئلة

  1. حل المعادلة التفاضلية : y " + y ' 6y=0
  2. اكتب على الشكل المثلثي العدد العقدي Z= 1+i 3 1i
  3. باستعمال مكاملة بالاجزاء بين ان : 0 π 2 cos(x).ln(1+cos(x))dx= π 2 1
    نذكر ان ( sin 2 (x)=1 cos 2 (x))
  4. نضع : ( n * ): u n =n+ ( 1 3 ) n
    احسب بدلالة n المجموع : S n = u 1 + u 2 +...........+ u n
الجواب

التمرين الاول

    في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم , نعتبر المستوى P الذي معادلته xz+1=0 و الفلكة S التي مركزها Ω(1,0,0) و شعاعها r=2.
  1. بين ان P و S يتقاطعان وفق دائرة C.
  2. حدد مركز و شعاع الدائرة C.
الجواب

التمرين الثاني

  1. اكتب على الشكل الجبري العدد العقدي ( 1i ) 2
  2. حل في مجموعة الاعداد العقدية المعادلة : z 2 2( 1+2i )z( 36i )=0 .
  3. نعتبر في المستوى العقدي النقطتين A و B لحقاهما على التوالي هما : a=3i و b=2+i
    حدد ثم انشئ ( D ) مجموعة النقط M ذات اللحق z بحيث : | z3i |=| z2i | .
الجواب

التمرين الثالث

    يحتوي كيس على أربع كرات بيضاء و كرتين سوداوين لا يمكن التمييز بينها باللمس .
  1. نسحب عشوائيا كرة واحدة من الكيس .
    ماهو احتمال الحصول على كرة بيضاء.
  2. نسحب عشوائيا بالتتابع و باحلال 5 كرات من الكيس.
    ما هو احتمال الحصول على كرة بيضاء مرتين بالضبط.
    1. نسحب عشوائيا بالتتابع و باحلال n كرة من الكيس .
    2. بين ان احتمال الحصول على كرة بيضاء على الاقل هو : p=1 ( 1 3 ) n
    3. ما هو العدد الادنى من السحبات التي يكون من اجلها p0,999?
      نأخد log30,48 حيث log هو اللوغاريتم العشري.
الجواب

مسألة

    نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ] 0,2 [ بما يلي : f(x)=ln( x 2x )
    وليكن ( C ) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم.
    1. احسب lim x 0 + f(x); lim x 2 f(x)
    2. بين ان ( x] 0,2 [ ): f ' (x)= 2 x(2x)
    3. اعط جدول تغيرات الدالة f.
    1. بين ان النقطة A(1,0) مركز تماثل لمنحنى الدالة f.
    2. اكتب معادلة ديكارتية للمماس ( T ) للمنحنى ( C ) في النقطة A(1,0) .
    1. نضع ( x] 0,2 [ ):ϕ(x)=f(x)x
    2. بين ان ϕ( 3 2 )0;ϕ( 7 4 )0
      نأخد ln71.94;ln31.1
    3. استنتج ان المعادلة f(x)=x تقبل حلا a بحيث 3 2 a 7 4 وأول النتيجة مبيانيا.
    1. بين أن الدالة f تقبل دالة عكسية f 1 .
    2. بين أن : ( x ): f 1 (x)= 2 e x 1+ e x
  1. أنشئ في نفس المعلم المنحنى ( C ) و المنحنى ( Γ );( C ) الممثل للدالة f 1 .
    1. احسب 0 a e x 1+ e x dx
    2. احسب مساحة الحيز المحصور بين المنحنيين ( Γ );( C ) و محوري المعلم.
الجواب


جواب أسئلة


  1. ( E ): y " + y ' 6y=0
    المعادلة المميزة للمعادلة ( E ) هي : r 2 +r6=0 حلولها هي : r=2 أو r=3
    إذن حلول المعادلة ( E ) هي الدوال العددية المعرفة على بما يلي : y:xα e 2x +β e 3x حيث ( α;β ) 2

  2. z= 1+i 3 1i
    = 1+i 3 1i z
    = [ 2, π 3 ] [ 2 , π 4 ]
    =[ 2 2 , π 3 + π 4 ]
    =[ 2 , 7π 12 ]

  3. I= 0 π 2 cosxln(1+cosx)dx
    نضع u ' (x)= 1 1+cosx ( sinx ) و u(x)=ln(1+cosx)
    v ' (x)=cosx و v(x)=sinx
    إذن :
    = [ sinx(ln(1+cosx)) ] 0 π 2 + 0 π 2 sin 2 x 1+cosx dx I
    = 0 π 2 1 cos 2 x 1+cosx dx
    = 0 π 2 1cosxdx
    = [ xsinx ] 0 π 2
    = π 2 1

  4. = u 1 + u 2 +.......+ u n S n
    =( 1+( 1 3 ) )+( 2+ ( 1 3 ) 2 )+( 3+ ( 1 3 ) 3 )+......( n+ ( 1 3 ) n )
    =( 1+2+3+.....+n )+( 1 3 + ( 1 3 ) 2 + ( 1 3 ) 3 +......+ ( 1 3 ) n )
    =n ( n+1 ) 2 + 1 3 ( 1 ( 1 3 ) n ) 1 1 3
    = n( n+1 ) 2 + 1 2 ( 1 ( 1 3 ) n )
التمرين

جواب التمرين 1

P:xz+1=0 S(Ω,r)/Ω(1;0;0);r=2

  1. = | 10+1 | 1 2 + 0 2 + ( 1 ) 2 d(Ω,P)
    = 2 2
    = 2
    بما أن d( Ω,P )r فإن P و S يتقاطعان وفق دائرة C
  2. ليكن R شعاع الدائرة C لدينا :
    = r 2 ( d(Ω,P) ) 2 R
    = 42
    = 2

    نعلم أن H( x;y;z ) مركز الدائرة C هو نقطة تقاطع المستوى P و المستقيم ( Δ ) المار من Ω و العمودي على P .
    لدينا ( Δ ):{ x=1+t y=0 z=t ( t ) ( P ):xz+1=0 من ( Δ ) و ( P ) نستنتج أن ( 1+t )( t )+1=0 أي t=1 إذن : H( 0;0;1 )
التمرين

جواب التمرين 2


  1. =12i+ i 2 ( 1i ) 2
    =12i1
    =2i
  2. z 2 2(1+2i)z(36i)=0
    =4 ( 1+2i ) 2 +4( 36i ) Δ
    =4(3+4i)+4(36i)
    =4( 2i )
    =4 ( 1i ) 2
    = ( 22i ) 2

    22i احد الجذور المربعة للعدد العقدي Δ اذن : z= 2( 1+2i )+( 22i ) 2 =2+i أو z= 2( 1+2i )( 22i ) 2 =3i

  3. | z3i |=| z(2+i) | | z3i |=| z2i |
    AM=BM
    و منه فإن ( D ) هي واسط القطعة [ AB ] .
التمرين

جواب التمرين 3


  1. C 4 1 C 6 1 = 4 6 = 2 3
  2. 5 اختبارات مستقلة(توزيع حداني)
    C 5 2 ( 2 3 ) 2 ( 1 3 ) 3 مع 2 3 هو احتمال الحصول على كرة بيضاء في الاختبار الواحد.
    • في هذه التجربة لدينا n اختبارا مستقلا، كما أن الحدث المضاد للحدث :
      A:كرة بيضاء على الأقل هو الحدث B:جميع الكرات من لون أسود
      و عليه فإن p=p(A)=1p(B)
      نعلم أن احتمال الحصول على كرة سوداء في الاختبار الواحد هو : C 2 1 C 6 1 = 2 6 = 1 3 و عليه فإن احتمال الحصول على n كرة سوداء هو p(B)= C n n ( 1 3 ) n ( 2 3 ) 0 = ( 1 3 ) n (توزيع حداني) . إذن : p=1 ( 1 3 ) n

    • 1 ( 1 3 ) n 0,999 p0,999
      ( 1 3 ) n 10 3
      ( 1 3 ) n 10 3
      log ( 1 3 ) n log 10 3
      nlog33
      n 3 log3 6,25
      إذن n=7
التمرين

جواب المسألة

f:xln( x 2x )
      • lim x 2 f(x)= lim x 2 ln( x 2x )=+
      • lim x 0 + f(x)= lim x 0 + ln( x 2x )=
    • الدالة x x 2x موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على المجال ] 0;2 [ إذن f قابلة للاشتقاق على المجال ] 0;2 [ و :
      = | 1 0 1 2 | ( 2x ) 2 × ( 2x ) x x] 0;2 [: f ' (x)
      = 2 x( 2x )
    • x] 0;2 [: f ' (x)0
    • a=1;b=0
      =f(2x)+f(x) f(2ax)+f(x)
      =ln( 2x 2(2x) )+ln( x 2x )
      =ln( 2x x )+ln( x 2x )
      =ln( x 2x )+ln( x 2x )
      =0
      =2b
      أي A(1;0) مركز تماثل لمنحنى الدالة f.
    • معادلة ديكارتية للمماس ( T ) للمنحنى ( C ) في النقطة A(1;0) تكتب على شكل : y= f ' (1)(x1)+f(1) أي y=2x2
  1. x] 0;2 [:ϕ(x)=f(x)x

      • =f( 7 4 ) 7 4 ϕ( 7 4 )
        =ln( 7 4 2 7 4 ) 7 4
        =ln7 7 4
        1,94 7 4 0

      • =f( 3 2 ) 3 2 ϕ( 3 2 )
        =ln( 3 2 2 3 2 ) 3 2
        =ln(3) 3 2
        =1,1 3 2 0
      • بما أن الدالة f متصلة المجال ] 3 2 ; 7 4 [ فان الدالة ϕ متصلة على المجال ] 3 2 ; 7 4 [
      • بما أن ϕ متصلة على المجال ] 3 2 ; 7 4 [ و ϕ( 3 2 )ϕ( 7 4 )0 فإنه تبعا لميرهنة القيم الوسيطية ، المعادلة ϕ(x)=0 أي f(x)=x تقبل حلا a بحيث 3 2 a 7 4 .
        التأويل المبياني: منحنى الدالة f و المنصف الأول يلتقيان نقطة B( a;a ) حيث 3 2 a 7 4
    1. الدالة f متصلة و تزايدية قطعا على المجال ] 0;2 [ ، إذن فهي تقابل من ] 0;2 [ نحو ] ;+ [ و تقبل دالة عكسية f 1 معرفة كما يلي :
      ] 0;2 [ f 1 :
      x f 1 (x)

    2. x=f(y) x,y] 0;2 [: f 1 (x)=y
      x=ln( y 2y )
      e x = y 2y
      y= 2 e x 1+ e x


    1. = [ ln(1+ e x ) ] 0 a 0 a e x 1+ e x dx
      =ln(1+ e a )ln( 2 )
      =ln( 1+ e a 2 )


    2. = 0 a f 1 (x)dx 1 a f(x)dx S
      =2 0 a e x 1+ e x dx 1 a ln( x 2x ) dx
      =2ln( 1+ e a 2 )I
      مع I= 1 a ln( x 2x )dx . لحساب I نستعمل مكاملة بالأجزاء بوضع :
      u(x)=ln( x 2x ), u ' (x)= 2 x( 2x )
      v(x)=x; v ' (x)=1 .......
المسألة