مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

المجموعة ومبادئ في الحسابيات



تمرين 1

    1. ناقش زوجية الاعداد التالية تبعا لزوجية n
    2. n+( n+1 )+( n+2 )( n )
    3. n×( n+1 )×( n+2 )( n )
    1. هل القوة تحافظ على الزوجية
    2. اعط بعض الامثلة

البداية

عناصر الإجابة


تمرين2

    ليكن n و m عنصرين من حيث mn
  1. بين ان m+n و m-n لهما نفس الزوجية
  2. حدد قواسم العدد 36
  3. حدد قيم الأعداد الصحيحة الطبيعية m و n حيث m 2 n 2 =36

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 3

  1. انشر ( n+1 ) 2 n 2 حيث n عدد صحيح طبيعي
  2. استنتج ان كل عدد صحيح طبيعي فردي يمكن كتابته على شكل
    فرق مربعي عددين صحيحين متتابعين
  3. طبق الاستنتاج السابق على العددين 39 و 31

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 4

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا
ادرس زوجية الاعداد التالية
n 2 ×n;4 n 2 +4n+1;2 n 2 +7;2n+8 4 n 2 +1;1+ ( n+1 ) 2 + ( n+2 ) 2 ; n 2 +7n+1 n 2 3n+4; n 2 +3n+4;5 n 2 +n

البداية

عناصر الإجابة

تمرين5

    1. ليكن n عددا صحيحا طبيعيا فرديا
    2. بين ان 8 يقسم n 2 1
    3. استنتج ان 16 يقسم n 4 1
  1. ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين فرديين
    بين ان 8 يقسم a 2 + b 2 2

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 6

  1. ليكن n عددا صحيحا طبيعيا
    نفترض ان n غير قابل للقسمة على 5
    1. ما هي القيم التي يأخدها باقي قسمة n على5
    2. ما هي القيم التي يأخدها باقي قسمة n 2 على 5
    3. استنتج ان 5 يقسم n 2 1 او n 2 +1
  2. اثبت ان n 5 n قابل للقسمة على 5

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 7

  1. انشر ( 10 6 1 ) 3
  2. استنتج باقي قسمة ( 999999 ) 3 على 5

البداية

عناصر الإجابة

تمرين8

  1. حدد جميع قواسم العدد 15
  2. استنتج جميع الاعداد الصحيحة الطبيعية x و y التي تحقق ( x+3 )( y+2 )=15
  3. حدد جميع الاعداد الصحيحة الطبيعية x و y بحيث xy+3x+y=12

البداية

عناصر الإجابة

تمرين9

  1. حدد الاعداد الصحيحة الطبيعية x حيث x 2 +8x56 مربع كامل
  2. حدد x و y حيث 27x85y قابل للقسمة على 3 و 11

البداية

عناصر الإجابة

تمرين10

    حدد الاعداد الصحيحة الطبيعية x بحيث
  1. x-3 يقسم x 2 +3
  2. x-2 يقسم x+5
  3. x-1 يقسم x 2
  4. x+1 يقسم x 3 +2

البداية

عناصر الإجابة

تمرين11

ليكن a و b و d , اعداد صحيحة طبيعية
اثبت انه اذا كان 7a +5b و 4a+3b مضاعفين للعدد d فان a و b مضاعفين للعدد d

البداية

عناصر الإجابة

تمرين12

    1. حدد العدد الصحيح الطبيعي n حيث
    2. n 2 8n+15 عدد اولي
    3. n 2 4n+3 عدد اولي
  1. حدد العددين الصحيحين الطبيعيين m و n حيث
    2 n 2 +5nm+3 m 2 عدد اولي
    لاحظ ان 2 n 2 +5nm+3 m 2 =( n+m )( 2n+3m )
  2. عمل ما يلي A= n 4 +4 حيث n عدد صحيح طبيعي
    ثم استنتج قيمة n كي يكون العدد A اوليا

البداية

عناصر الإجابة

تمرين13

    a و b عددان صحيحان طبيعيان حيث PGCD( a;b )=18
  1. ما هي العوامل الاولية المشتركة للعددين a و b
  2. اذا علمت ان a×b=972 فاحسب PPCM( a;b )
  3. استنتج a و b

البداية

عناصر الإجابة


عناصر الإجابة

التمرين 1
    • مهما كان n من IN فإن n و n+1 لهما زوجية مختلفة إذن n+( n+1 ) عدد فردي.
      n زوجي : أي n+2 زوجي و بالتالي فإن n+( n+1 )+( n+2 ) فردي.
      n فردي : أي n+2 فردي و بالتالي n+( n+1 )+( n+2 ) زوجي.
    • n زوجي :
      يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث n=2k :
      =2k×( 2k+1 )×(2k+2) n×(n+1)×(n+2)
      =2[ k×(2k+1)×(2k+2) ]
      =2K
      مع K=k×(2k+1)×(2k+2)
      إذن زوجي .
      n فردي :
      يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث n=2k+1
      =( 2k+1 )×(2k+2)×(2k+3) n×(n+1)×(n+2)
      =( 2k+1 )×2(k+1)×(2k+3)
      =2[ ( 2k+1 )(k+1)×(2k+3) ]
      =2K
      مع K=( 2k+1 )(k+1)×(2k+3)
      إذن زوجي
    • نعم
    • 3 فردي و كذلك 3 2 =9; 3 3 =27
      2 زوجي و كذلك 2 3 =8; 2 4 =16
التمرين 2
  1. بما أن ( mn )+( m+n )=2m فإنه عدد زوجي و بالتالي فإن للحدين mn و m+n نفس الزوجية.
  2. D 36 ={ 1;2;3;4;6;9;12;18;36 }
  3. لكل m و n من لدينا : m 2 n 2 =36 تكافئ (mn)(m+n)=36 أي m+n و mn قاسمين للعدد 36 ، و بما أن ل m و n نفس الزوجية و مختلفين فإن الحالات الممكنة هي : { m+n=18 mn=2 أي { m=10 n=8
    { m+n=6 mn=6 أي { m=6 n=0

البداية

التمرين
التمرين 3
  1. لكل n من :
    = n 2 +2n+1 n 2 ( n+1 ) 2 n 2
    =2n+1
    عدد فردي
  2. نتيجة السؤال الأول

  3. =2(19)+1 39
    = ( 19+1 ) 2 19 2
    = 20 2 19 2

    =2(15)+1 31
    = ( 15+1 ) 2 15 2
    = 16 2 15 2

البداية

التمرين
التمرين 4

البداية

التمرين
التمرين 5
    • n فردي أي يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث n=2k+1 و منه فإن
      = ( 2k+1 ) 2 1 n 2 1
      =4 k 2 +4k+11
      =4( k 2 +k )

      نعلم أن k و k 2 لهما نفس الزوجية إذن k 2 +k عدد زوجي أي يوجد عددصحيح طبيعي k ' حيث k 2 +k=2 k ' و عليه فإن n 2 1=8 k ' أي 8 يقسم العدد n 2 1
    • n 4 1=( n 2 1 )( n 2 +1 )
      - تبعا للسؤال السابق يوجد عدد صحيح طبيعي k ' حيث n 2 1=8 k '
      -بما أن n فردي فإن n 2 فردي مما يقودنا الى أن n 2 +1 عدد زوجي أي يوجد عدد صحيح طبيعي k " حيث n 2 +1=2 k " و عليه فإن :
      =8 k ' ×2 k " n 4 1
      =16 k ' k "
      أي 16 يقسم n 4 1
  1. نفس التحليل

البداية

التمرين
التمرين 6
    • القيم التي يأخدها باقي قسمة n على 5 هي : 4;3;2;1
    • تبعا للسؤال الأول ، لكل عدد صحيح طبيعي n غير قابل للقسمة على 5 يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث n=5k+1 أو n=5k+2 أو n=5k+3 أو n=5k+4 .نرفع هذه المتساويات الى الأس 2 فنحصل على : n 2 =5( 5 k 2 +2k )+1 أو n 2 =5( 5 k 2 +4k )+4 أو n 2 =5( 5 k 2 +6k+1 )+4 أو n 2 =5( 5 k 2 +8k+3 )+1 مما يقودنا الى أن القيم التي يأخدها باقي قسمة n 2 على 5 هي : 4;1
    • تبعا للسؤال السابق ، لكل عدد صحيح طبيعي n غير قابل للقسمة على 5 يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث n 2 =5k+1 أو n 2 =5k+4 أي n 2 1=5k أو n 2 +1=5( k+1 ) أي 5 يقسم n 2 1 أو n 2 +1 وكذلك n 4 1=( n 2 1 )( n 2 +1 )
  1. n 5 n=n( n 4 1 )
    بما أن 5 يقسم n 4 1 فإن 5 يقسم n( n 4 1 ) أي يقسم n 5 n

البداية

التمرين
التمرين 7
  1. ( 10 6 1 ) 3 = 10 18 3.10 12 + 3.10 6 1

  2. = ( 10 6 1 ) 3 ( 999999 ) 3
    = 10 18 3.10 12 + 3.10 6 1
    =5( 2.10 17 6.10 11 + 6.10 5 )5+4
    =5( 2.10 17 6.10 11 + 6.10 5 1 )+4
    ما هو الباقي في رأيك؟

البداية

التمرين
التمرين 8
  1. D 15 ={ 1;3;5;15 }
  2. من المتساوية ( x+3 )( y+2 )=15 نستنتج أن x+3 و y+2 قواسم للعدد 15 إذن الحالات الممكنة هي : { x+3=3 y+2=5 أو { x+3=5 y+2=3 أي S={ ( 0;3 );( 2;1 ) }
  3. لكل x و y من المتساوية xy+3x+y=12 تكافئ ( x+1 )( y+3 )=15 .... نفس التحليل بالنسبة للسؤال السابق.

البداية

التمرين
التمرين 9
  1. لكل x من :
    x 2 +8x56 مربع كامل يعني يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث ( 1 ): x 2 +8x56= k 2
    ( 1 ) تكافئ ( x+4 ) 2 k 2 =72 تكافئ ( x+4k )( x+4+k )=72 إذن x+4+k و x+4k قواسم للعدد 72 .
    لاحظ أن x+4+k و x+4k لهما نفس الزوجية لأن مجموعهما عدد زوجي يساوي 2( x+4 ) .
    بما أن D 72 ={ 1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72 } فإن الحالات الممكنة هي : ( x=15 ){ x+4+k=36 x+4k=2 أو ( x=7 ){ x+4+k=18 x+4k=4 أو ( x=5 ){ x+4+k=12 x+4k=6
    • بما أن 3 يقسم العدد 27x85y ¯ فإن 3 يقسم العدد 22+( x+y )
      نعلم أن x,y{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 } إذن x+y=5 أو x+y=8 أو x+y=11 أو x+y=14 أو x+y=17 .
    • بما أن 11 يقسم 27x85y ¯ فإن 11 يقسم ( yx )+8
      نعلم أن 9yx9 إذن yx=8 أو yx=3
    • لاحظ أن y+x و yx لهما زوجية مختلفة لأن مجموعهما عدد زوجي. إذن الحالات الممكنة هي : { yx=8 y+x=8 أو { yx=3 y+x=5 أو { yx=3 y+x=11 أي { x=8 y=0 أو { x=1 y=4 أو { x=4 y=7

البداية

التمرين
التمرين 10
  1. لدينا : x 2 +3=( x3 )( x+3 )+12
    بما أن x3 يقسم الحد ( x3 )( x+3 ) و المجموع x 2 +3 فإن x3 يقسم الحد 12 .
    نعلم أن D 12 ={ 1;2;3;4,6;12 } إذن x3=1 أو x3=2 أو x3=3 أو x3=4 أو x3=6 أو x3=12 أتمم ....
  2. نفس التحليل مع x+5=( x2 )+7
  3. نفس التحليل مع x 2 =( x1 )( x+1 )+1
  4. نفس التحليل مع x 3 +2=( x+1 )( x 2 x+1 )+1

البداية

التمرين
sajid@madariss.fr