مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

رقم التمرين 1|2| 3|4| 5|

التمرين 1

  1. اثبت أنه لكل عدد حقيقي يخالف 1 لدينا 1 1+x =1x+ x 2 1+x
    • اثبت أنه لكل x من المجال [ 1 2 ; 1 2 ]
    • 0 x 2 1 4
    • 2 3 1 1+x 2
    • 0 x 2 1+x 2 x 2
  2. استنتج من السؤالين السابقين أن :
    لكل x من المجال [ 1 2 ; 1 2 ] العدد ( 1x ) قيمة مقربة بتفريط للعدد 1 1+x الى 2 x 2
  3. اعط باستعمال هذه الطريقة قيم مقربة للاعداد التالية محددا الخطأ: 1 1,004 ; 1 1,00001 ; 1 0,9995

البداية
الجواب


التمرين 2

ليكنaوbعددين حقيقين موجبين قطعا و مختلفين
  1. بين ان : 1 ab 2 ( a 2 + b 2 ) = ( ab ) 2 ab( a 2 + b 2 )
  2. بين أن : a 2 + b 2 2 a 2 b 2 1 ab = ( ab ) 2 2 a 2 b 2
  3. استنتج أن : 2 a 2 + b 2 1 ab a 2 + b 2 2 a 2 b 2
  4. باستعمال ما سبق اثبت ان : 2 5 1 6 5 12

البداية

الجواب


التمرين 3

    ليكن x عددا حقيقيا موجبا قطعا
    نضع C= x 2 8 + 1+x ;B=1+ x 2 ;A= 1+x
  1. اثبت ان C1;B1;A1
  2. قارن بين B 2 ; A 2 ثم استنتج ان 1+x 1+ x 2
    • اثبت C 2 B 2 = x 2 4 ( 1+x + x 2 16 1 )
    • قارن بين B 2 و C 2
    • استنتج أن 1+ x 2 x 2 8 1+x
    • اعط تأطيرا للعدد 1,0002 وقيمة مقربة للعدد 1,0000001 بالدقة 10 14

البداية

الجواب


التمرين 4

    ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين .
  1. انشر الجداء ( x+y+ xy )( x y )
  2. استنتج كتابة ثانية للعدد 7 7 3 3
  3. قارن بين العددين 11+ 30 و 6 6 5 5 6 5

البداية


التمرين 5

    • ليكن x عددا حقيقيا
    • انشر : ( 12x ) 3
    • بين أن : | ( 12x ) 3 ( 16x ) |= x 2 | 128x |
    • نفترض أن : | x | 1 2
    • بين أن | 128x |16
    • استنتج أن : | ( 12x ) 3 ( 16x ) |16 x 2
  1. اعط قيمة مقربة للعدد ( 0,9998 ) 3 بالدقة 16× 10 8

البداية

الجواب


جواب التمرين 1

  1. لكل x من { 1 } :
    1x+ x 2 1+x = 1 x 2 + x 2 1+x اي 1x+ x 2 1+x = 1 1+x
    • ليكن x عددا حقيقيا من المجال [ 1 2 ; 1 2 ] .
    • تذكير
      x,a,b أعدادا حقيقية حيث axb و a×b0 .
      لدينا 0 x 2 ( sup( | a |;| b | ) ) 2
      بما أن 1 2 x 1 2 فإن 0 x 2 1 4
    • تذكير
      aوbعددان حقيقيان غير منعدمين و من نفس الإشارة.
      إذا كان ab فإن 1 a 1 b
      بما أن 1 2 x 1 2 فإن 1 2 1+x 3 2 ومنه فإن 2 3 1 1+x 2
    • بما أن x 2 + و 0 2 3 1 1+x 2 فإن 0 x 2 1+x 2 x 2
  2. لكل x من المجال [ 1 2 ; 1 2 ] :
    0 x 2 1+x 2 x 2 تكافئ ( 1x ) x 2 1+x +( 1x )( 1x )+2 x 2 اي ( 1x ) 1 1+x ( 1x )+2 x 2
    و هذا يعني أن ( 1x ) قيمة مقربة بتفريط للعدد 1 1+x الى 2 x 2
  3. 1 1.004 = 1 1+0.004 مع 0.004[ 1 2 ; 1 2 ]
    اذن ( 10,004 ) قيمة مقربة بتفريط للعدد 1 1,004 الى 2× ( 0,004 ) 2 اي الى 32× 10 6


التمرين


جواب التمرين 2

    aوbعددين حقيقيين موجبين قطعا و مختلفين
  1. 1 ab 1 ( a 2 + b 2 ) = ( a 2 + b 2 )2ab ab( a 2 + b 2 ) = ( ab ) 2 ab( a 2 + b 2 )
  2. a 2 + b 2 2 a 2 b 2 1 ab = a 2 + b 2 2ab 2 a 2 b 2 = ( ab ) 2 2 a 2 b 2
  3. بما أن ( ab ) 2 ab( a 2 + b 2 ) 0 فإن 1 ab 2 a 2 + b 2 0 اي ( 1 ): 1 ab 2 a 2 + b 2
    بما أن ( ab ) 2 2 a 2 b 2 0 فإن a 2 + b 2 2 a 2 b 2 1 ab 0 اي ( 2 ): a 2 + b 2 2 a 2 b 2 1 ab
    من1و2نستنتج أن 2 a 2 + b 2 1 ab a 2 + b 2 2 a 2 b 2
  4. نضع a= 2 ;b= 3 ; 1 6 = 1 2 3 = 1 ab


التمرين


جواب التمرين 3

  1. لكل x من + * لدينا :
    = 1+x 1 A1
    = ( 1+x 1 )( 1+x +1 ) ( 1+x +1 )
    = ( 1+x )1 ( 1+x +1 )
    = x ( 1+x +1 ) 0
    إذن A1
    =( 1+ x 2 )1 B1
    = x 2 0
    إذن B1
    نعلم أن A1 إذن x 2 8 +A1 أي C1

  2. =( 1+x ) ( 1+ x 2 ) 2 A 2 B 2
    =1+x( 1+x+ x 2 4 )
    = x 2 4 0
    أي A 2 B 2 و بما أن A و B موجبين فإن AB إذن 1+x 1+ x 2

    • = ( x 2 8 + 1+x ) 2 ( 1+ x 2 ) 2 C 2 B 2
      = x 4 64 + x 2 1+x 4 +( 1+x )( 1+x+ x 2 4 )
      = x 4 64 + x 2 1+x 4 x 2 4
      = x 2 4 ( 1+x + x 2 16 1 )
    • نعلم أن A1 أي 1+x 1 و عليه فإن 1+x 1+ x 2 16 0 و كذلك x 2 4 ( 1+x + x 2 16 1 )0 ( لأن x 2 4 0 ) و بالتالي فإن C 2 B 2 ، و بما أن B و C موجبين فإن CB
    • تبعا للسؤال السابق لدينا CB أي x 2 8 + 1+x 1+ x 2 أي 1+x 1+ x 2 x 2 8
    • لكل x من + * لدينا 1+ x 2 x 2 8 1+x 1+ x 2 و من أجل x= 2.10 4 نحصل على 1+ 10 4 ( 2.10 4 ) 2 8 1,0002 1+ 10 4 أي 1,0001 5.10 9 1,0002 1,0001 .
      ملاحظة
      x,b,a أعداد حقيقية حيث axb
      a+b 2 قيمة مقربة للعدد x بالدقة ba 2 .
      بما أن 1+ x 2 x 2 8 1+x 1+ x 2 فإن 1+ x 2 2 x 2 1+x 1+ x 2 إذن ( 1+ x 2 )+( 1+ x 2 2 x 2 ) 2 =1+ x 2 x 2 قيمة مقربة للعدد 1+x بالدقة ( 1+ x 2 )( 1+ x 2 2 x 2 ) 2 = x 2
      من أجل x= 10 7 نحصل على النتيجة المطلوبة.


التمرين


sajid@madariss.fr