مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الحساب المثلثي


التمرين 1

نعتبر دائرة مثلثية مرتبطة بمعلم متعامد ممنطم مباشر ( O, OA , OB ) و M نقطة حرة على الدائرة و تتحرك في الاتجاه المعاكس لدوران عقربي الساعة.
  1. باستعمال الجدول أسفله ، مثل النقط التالية على الدائرة المثلثية.
    النقطةM1M2M3M4M5M6M7M8M9M10M11
    قياس الزاوية ( OA , OM ) π 3π 4 π 2 π 4 0 π 6 π 4 π 2 3π 4 5π 6 π

البداية

الجواب


التمرين 2

  1. استخرج من بين الأفاصيل المنحنية التالية، الأفاصيل المنحنية لنفس النقطة على دائرة مثلثية.
    37π 3 ; 54π 12 ;5π; 352π 11 ; 49π 3 ; 9π 6 ;π
  2. حدد الافاصيل المنحنية الرئيسية لنقط السؤال الأول
  3. احسب ما يلي معللا أجوبتك.
    cos( π 4 );sin( π 4 ) sin( 5π 3 );sin( 4π 3 )

البداية

الجواب


التمرين 3

  1. احسب cosα علما أن sinα=0,3 و أن 0α π 2
  2. احسب sinα علما أن cosα=0,6 و أن α[ 0,2π ]
  3. احسب cosα و sinα علما أن tanα=2 و أن α [ π; 3π 2 [
  4. احسب cosα و tanα علما أن sinα= 1 4 و أن π 2 απ
  5. احسب sinα و tanα علما ان cosα= 2 3 و أن 3π 2 α2π
  6. احسب sinα و cosα علما أن tanα= 3 2 و أن 3πα 7π 2

البداية

الجواب


التمرين 4

  1. بين أن :

    1 tan 2 x cos 2 x= cos 2 x× 1 tan 2 x

    tanx+ 1 tanx = 1 sinxcosx

    tan 2 x+ 1 tan 2 x = 1 sin 2 x× cos 2 x 2

    tan 2 x× sin 2 = tan 2 x sin 2 x

  2. ليكن x عددا حقيقيا ينتمي الى المجال [ 0;π ] . بسط ما يلي :

    cos 6 x+ sin 6 x+3 sin 2 × cos 2 x

    sin 5 x+ sin 3 x× cos 2 x

    sin 2 x+2 cos 2 x1

    ( 1+sinx+cosx ) 2 2( 1+sinx )( 1+cosx )

البداية

الجواب


التمرين 5

احسب المجاميع التالية :

A=cos π 5 +cos 2π 5 +cos 3π 5 +cos 4π 5

B=cos π 3 + sin 2 π 3 +cos 2π 3 + cos 2 2π 3

C= cos 2 ( 17 ° )+ sin 2 ( 13 ° )+ cos 2 ( 73 ° )+ sin 2 ( 77 ° )

D= cos 2 π 8 + cos 2 3π 8 + cos 2 5π 8 + cos 2 7π 8

E= sin 2 π 12 + sin 2 3π 12 + sin 2 5π 12 + cos 2 7π 12 + cos 2 9π 12 + cos 2 11π 12

البداية

الجواب


التمرين 6

ليكن ABC مثتثا بحيث : 2 ( BC ) 2 = ( AC ) 2 + ( AB ) 2
بين أن : sin 2 ( B )+ sin 2 ( C )=2 sin 2 ( A )

البداية

الجواب


جواب التمرين 1


التمرين


جواب التمرين 2

    تذكير
    ( x,y ) 2
    x و y أفصولان منحيان لنفس النقطة على الدائرة المثلثية يكافئ ، يوجد عدد صحيح نسبي k حيث xy=k( 2π )
  1. بما ان : 5ππ=2( 2π ) أي 5π=π+2( 2π ) فإن 5ππ[ 2π ] بمعنى آخر π و 5π متكافئان بتردد 2π
  2. تذكير
    ( x,y ) 2
    xy[ 2π ] تكافئ يوجد عدد صعحيح نسبي k حيث x=y+k( 2π )
    و نقرأ x و y متكافئان بتردد 2π
  3. ليكنx الأفصول المنحني الرئيسي الذي يحقق : x 49π 3 [ 2π ] أي يوجد عدد صحيح نسبي k حيث π 49π 3 +k( 2π )π .
    لكل عدد صحيح نسبي k :
    π 49π 3 +k( 2π )π يكافئ 1 49 3 +2k1
    يكافئ 52 6 k 46 6
    أي k=8 و منه فإن x= 49π 3 8( 2π )= π 3 .
    لنبحث عن الأفصول المنحني الرئيسي الذي يكافئ 54π 12 بتردد 2π .
    لاحظ أن 48 و 60 من مضاعفات المقام 12 زائد 485460 كما أن 48 12 =4 زوجي و 60 12 =5 فردي
    (نختار الزوجي أي 48)إذن :
    = 48π+6π 12 54π 12
    =4π+ π 2
    = π 2 +2( 2π )
    أي 54π 12 π 2 [ 2π ]
  4. النسب المثلثية لعدد حقيقي و لزاوية موجهة




    ( x ): cos(x)=cos(x) sin(x)=sin(x) tan(x)=tan(x)( x π 2 +kπ;k )


    ( x ): cos(πx)=cos(x) sin(πx)=sin(x) tan(πx)=tan(x)( x π 2 +kπ;k )


    x cos( π 2 x )=sin(x) sin( π 2 x )=cos(x) tan( π 2 x )= 1 tan(x) ( x π 2 +kπ;xkπ )


    x cos( π 2 +x )=cos( π 2 x )=sinx sin( π 2 +x )=sin( π 2 x )=cosx tan( π 2 x )= 1 tan(x) ( x π 2 +kπ;xkπ )


    x cos( π+x )=cos( x )=cos(x) sin( π+x )=sin( x )=sin(x) tan( π+x )=tan(x)( x π 2 +kπ )

  5. cos( π 4 )=cos( π 4 )= 2 2 sin( π 4 )=sin( π 4 )= 2 2

    لدينا 5π 3 π 3 [ 2π ] إذن sin( 5π 3 )=sin( π 3 )=sin( π 3 )= 3 2
    لدينا 4π 3 2π 3 [ 2π ] إذن sin( 4π 3 )=sin( 2π 3 )=sin( π π 3 )=sin( π 3 )= 3 2


التمرين


جواب التمرين 3

لكل x من لدينا cos 2 x+ sin 2 x=1
لكل x π 2 +kπ حيث k لدينا tanx= sinx cosx و 1+ tan 2 x= 1 cos 2 x

  1. لكل α من المجال ] 0; π 2 [ لدينا :
    cos 2 x+ sin 2 x=1 يكافئ cos 2 x=1 sin 2 x يكافئ cosx= 1 sin 2 x يكافئ cosx= 1 (3× 10 1 ) 2 = 10.09 = 0.91

    لاحظ أن : لكل α من المجال ] 0; π 2 [ لدينا 0cosα1
  2. لكل α من المجال [ 0;2π ] لدينا sin 2 α=1 cos 2 α أي sin 2 α=1 ( 0,6 ) 2 =10,36=0,64 بمعنى آخر sinα=±0,8

    لاحظ أن :
    لكل α من المجال ] 0;π [ لدينا 0sinα1
    لكل α من المجال ] π;2π [ لدينا 1sinα0
    كما أن : sin0=sinπ=sin2π=0


  3. لاحظ أنه لكل α من المجال [ π; 3π 2 [ لدينا 1cosα0 1sinα0

    لكل α من المجال [ π; 3π 2 [ لدينا 1+ tan 2 α= 1 cos 2 α أي
    = 1 1+ tan 2 α cos 2 α
    = 1 1+4
    = 1 5
    ومنه فإن cosα= 1 5
    نعلم أن لكل α من المجال [ π; 3π 2 [ لدينا sinα=tanαcosα أي sinα=2( 1 5 )= 2 5


  4. لاحظ أن لكل α من المجال ] π 2 ;π [ لدينا 1cosα0 0sinα1
    لدينا :
    =1 sin 2 α cos 2 α
    =1 1 16
    = 15 16
    اي cosα= 15 4 اعتمادا على ما سبق نستتج أن :
    = sinα cosα tanα
    = 1 4 × 4 15
    15 15


التمرين


جواب التمرين 4

  1. لكل x π 2 +kπ حيث ( k ) لدينا :
    = 1 tan 2 x× cos 2 x tan 2 x 1 tan 2 x cos 2 x
    = 1 sin 2 x cos 2 x × cos 2 x tan 2 x
    = 1 sin 2 x tan 2 x
    = cos 2 x tan 2 x
    = cos 2 x× 1 tan 2 x
  2. لكل x لدينا :
    = ( cos 2 x ) 3 + ( sin 2 x ) 3 +3 sin 2 x× cos 2 x cos 6 x+ sin 6 x+3 sin 2 x× cos 2 x
    =( cos 2 x+ sin 2 x )( cos 4 x cos 2 x× sin 2 x+ sin 4 x )
    = cos 4 x cos 2 x× sin 2 x+ sin 4 x+3 sin 2 x× cos 2 x
    = cos 4 x+2 cos 2 x× sin 2 x+ sin 4 x
    = ( cos 2 x+ sin 2 x ) 2
    =1


التمرين


جواب التمرين 5

لاحظ أن : π 5 + 4π 5 =π أي 4π 5 =π π 5 و بالمثل
2π 5 + 3π 5 =π أي 3π 5 =π 2π 5
=cos π 5 +cos 2π 5 +cos 3π 5 +cos 4π 5 A
=cos π 5 +cos 2π 5 +cos( π 2π 5 )+cos( π π 5 )
=cos π 5 +cos 2π 5 cos 2π 5 cos π 5
=0


التمرين


sajid@madariss.fr